5東京大学 2009年 数学 第5問解答・解説

(1) 両辺は正なので自然対数をとる。右辺の対数から左辺の対数を引くと $$\displaystyle \frac{\log(1+x)}x-\left(1-\frac1x\right)\log(1-x)=\frac{G(x)}x, \qquad G(x)=\log(1+x)+(1-x)\log(1-x).$$ $-1<x<1$ で $G(0)=0$。さらに $$\displaystyle G'(x)=H(x),\qquad H(x)=-\log(1-x)-\frac{x}{1+x},$$ $$\displaystyle H(0)=0,\qquad H'(x)=\frac{x(x+3)}{(1-x)(1+x)^2}.$$ この範囲では $x+3>0$ かつ分母は正だから、$H'$ は $x<0$ で負、$x>0$ で正。従って $H(x)>H(0)=0$（$x\ne0$）。よって $G$ は増加し、$G(x)<0$（$x<0$）、$G(x)>0$（$x>0$）。したがって $G(x)/x>0$ で、元の不等式が成り立つ。

(2) $t=1/10000$ とおく。$0<t<1$ について、数学的帰納法により $$(1-t)^n\ge1-nt$$ が成り立つ。実際、$n=1$ では等号であり、成立を仮定して正の $1-t$ を掛けると $$(1-t)^{n+1}\ge(1-nt)(1-t)=1-(n+1)t+nt^2>1-(n+1)t.$$ 従って $0.9999^{100}=(1-t)^{100}>1-100t=0.99$。

次に $u=t/(1-t)=1/9999$ とおく。二項定理より $$\displaystyle (1-t)^{-101}=(1+u)^{101}>1+101u =1+\frac{101}{9999}=\frac{100}{99}.$$ 両辺は正なので逆数をとり、$(1-t)^{101}<99/100=0.99$ を得る。従って $$\boxed{0.9999^{101}<0.99<0.9999^{100}}.$$