6東京大学 2009年 数学 第6問解答・解説

(1) $\vec e_1,\vec e_2$ は単位ベクトルである。$v=\vec e_1-\vec e_2$ とおく。仮定 $d(P_1(t),P_2(t))\le1$ のもとで $v=0$ なら距離は常に $|\vec a_1|=1000$ となり矛盾するので、$v\ne0$。位置差は $\vec a_1-tv$ であり、その直線への最短距離は $1000|\sin\theta|$。ある時刻の距離が1以下なら最短距離も1以下なので $$\displaystyle |\sin\theta|\le\frac1{1000}.$$

(2) 正三角形の向きを $\vec a_1$ の偏角0、$\vec a_2$ の偏角 $2\pi/3$ として表す。内点条件から $0<\theta_1,\theta_2<\pi/3$。$\vec e_1$ と $\vec e_2$ の偏角をそれぞれ $u=\theta_1,\ v=2\pi/3+\theta_2$ とおくと、 $$\displaystyle \vec e_1-\vec e_2 =2\sin\frac{v-u}{2}(\cos\beta,\sin\beta), \qquad \beta=\frac{u+v}{2}-\frac{\pi}{2} =\frac{\theta_1+\theta_2}{2}-\frac{\pi}{6}.$$ ここで $-\pi/6<\beta<\pi/6$ なので、$\theta=|\beta|$。$\alpha$ は $0<\alpha<\pi/6$ かつ $\sin\alpha=1/1000$。 (1)より $|\beta|\le\alpha$ だから $$\displaystyle \frac{\pi}{3}-2\alpha\le\theta_1+\theta_2\le\frac{\pi}{3}+2\alpha.$$ 両端は $\theta_1=\theta_2=\pi/6\pm\alpha$ と置けば内点条件を満たし実現する。

(3) 各辺に(2)を適用すると三つの和 $\theta_1+\theta_2,\theta_2+\theta_3,\theta_3+\theta_1$ はすべて $\pi/3-2\alpha$ 以上 $\pi/3+2\alpha$ 以下である。例えば $$\displaystyle \theta_1=\frac{(\theta_1+\theta_2)+(\theta_1+\theta_3)-(\theta_2+\theta_3)}{2}$$ なので $|\theta_i-\pi/6|\le3\alpha$（各i）。正三角形の外接円半径は $T=1000/\sqrt3$。$u_i$ を $A_i$ からOへ向かう単位ベクトルとすると $$\displaystyle d(P_i(T),O)=T|\vec e_i-u_i| =2T\left|\sin\frac{\theta_i-\pi/6}{2}\right| \le2T\sin\frac{3\alpha}{2}.$$ $x=\alpha/2$ とおけば $$\displaystyle \frac32\sin\alpha-\sin\frac{3\alpha}{2} =\sin x(1-\cos x)(1+4\cos x)\ge0.$$ したがって $$\displaystyle d(P_i(T),O)\le3T\sin\alpha =3\cdot\frac{1000}{\sqrt3}\cdot\frac1{1000} =\sqrt3<3$$ となる。