2東京大学 2009年 数学 第2問解答・解説

(1) $P=\begin{pmatrix}1&r\\0&1\end{pmatrix}$ とおくと $P^{-1}=\begin{pmatrix}1&-r\\0&1\end{pmatrix}$。条件(ii)は $A\begin{pmatrix}r\\1\end{pmatrix}=s\begin{pmatrix}r\\1\end{pmatrix}$ である。$AP$ の第2列は $(sr,s)^{\mathsf T}$ なので，$B=P^{-1}AP$ の第2列は $(0,s)^{\mathsf T}$ となる。一方，第1列は $P^{-1}A\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=P^{-1}\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-rc\\c\end{pmatrix}$。従って $$B=\begin{pmatrix}a-rc&0\\c&s\end{pmatrix}.$$

(2) $P\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ である。 ここで使う等式を帰納法で確認する。$PP^{-1}=I$ は $$\begin{pmatrix}1&r\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&-r\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$ であり、$Pe_1=e_1$（$e_1=(1,0)^{\mathsf T}$）である。$n=1$ では $$Be_1=P^{-1}APe_1=P^{-1}Ae_1.$$ また $B^ne_1=P^{-1}A^ne_1$ と仮定すれば、$B=P^{-1}AP$ と $PP^{-1}=I$ より $$B^{n+1}e_1=B(P^{-1}A^ne_1)=P^{-1}A(PP^{-1})A^ne_1=P^{-1}A^{n+1}e_1.$$ 従って全ての $n\ge1$ で $B^ne_1=P^{-1}A^ne_1$ が成り立つ。 $$B^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} =P^{-1}A^nP\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} =P^{-1}\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}x_n-r y_n\\y_n\end{pmatrix}.$$ よって $z_n=x_n-r y_n$，$w_n=y_n$。条件(iii)から $z_n\to0$，$w_n\to0$。

(3) $q=a-rc$ とおく。$B=\begin{pmatrix}q&0\\c&s\end{pmatrix}$ である。成分を順に掛けると，任意の $n\geq1$ について $$\displaystyle z_n=q^n,\qquad w_n=c\sum\limits _{j=0}^{n-1}s^{n-1-j}q^j.$$ この式は $n=1$ で成立し，$B\begin{pmatrix}z_n\\w_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}qz_n\\cz_n+sw_n\end{pmatrix}$ を使えば次の $n$ にも成立する。和の式から $$w_{n+1}-q w_n=c s^n.$$ 小問(2)で $w_n\to0$ なので左辺も0に収束する。しかし $s>1$ だから $s^n$ は0に収束しない。従って $c=0$。このとき $q=a$ であり，$z_n=a^n\to0$。$a$ は実数なので，$|a|\geq1$ なら $|a^n|\geq1$ となり0に収束しない。よって $|a|<1$。