4東京大学 2009年 数学 第4問解答・解説

回転角を$0\leq\phi\leq\pi$とし、回転前の円板上の点を$(u,y,a)$（$u^2+y^2\leq1$）とする。正のz軸が正のx方向へ傾く回転なので、回転後の点は $$x=u\cos\phi+a\sin\phi,\qquad y=y,\qquad z=-u\sin\phi+a\cos\phi.$$ $-1\le y\le1$ を満たす固定した $y$に対して$\rho=\sqrt{1-y^2}$とおくと、$-\rho\leq u\leq\rho$である。x-z平面内で回転軸からの距離を$r=\sqrt{x^2+z^2}$とすると $$r^2=a^2+u^2,\qquad a\leq r\leq R:=\sqrt{a^2+\rho^2}.$$ また、正のz軸から正のx方向に測る角を$\psi$とすると、$\psi=\phi+\delta$、ただし$\tan\delta=u/a$である。したがって各半径$r$で実現する角度は $$\displaystyle -\gamma_r\leq\psi\leq\pi+\gamma_r,\qquad \tan\gamma_r=\frac{\sqrt{r^2-a^2}}{a}.$$ 特に、共通部分$x\geq0$では角度範囲は$0\leq\psi\leq\pi$となる。

(1) 固定したyでの$x\geq0$の断面は、内半径a、外半径Rの半円環である。その面積は $$\displaystyle A_+(y)=\frac{\pi}{2}(R^2-a^2) =\frac{\pi}{2}(1-y^2).$$ よって断面積をyについて積分すると $$\displaystyle W(a)=\int_{-1}^{1}A_+(y)\,dy =\frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1}(1-y^2)\,dy =\frac{2\pi}{3}.$$

(2) 全断面では、この半円環に、x<0側の上下2つの同じ部分が加わる。$R=\sqrt{a^2+\rho^2}$、$\tan\gamma=\rho/a$（$0\leq\gamma<\pi/2$）とおく。各部分は、半径R、中心角$\gamma$の扇形から、底辺$\rho$、高さaの三角形を除いたもので、面積は $$\displaystyle \frac{R^2\gamma}{2}-\frac{a\rho}{2}.$$ したがって全断面積は $$\displaystyle A(y)=\frac{\pi\rho^2}{2}+R^2\gamma-a\rho.$$ ここで$0\leq\gamma\leq\tan\gamma=\rho/a$である。後の不等式は、$h(s)=\tan s-s$について$h(0)=0$、$h'(s)=\tan^2s\geq0$から従う。よって $$\displaystyle 0\leq R^2\gamma-a\rho \leq(a^2+\rho^2)\frac{\rho}{a}-a\rho =\frac{\rho^3}{a}.$$ 断面積を積分して体積を求めると $$\displaystyle V(a)=\int_{-1}^{1}A(y)\,dy,\qquad 0\leq V(a)-\frac{2\pi}{3} \leq\frac1a\int_{-1}^{1}(1-y^2)^{3/2}\,dy \leq\frac2a\longrightarrow0.$$ したがって $$\displaystyle \lim\limits _{a\to\infty}V(a)=\frac{2\pi}{3}.$$