4東北大学 2013年 数学 第4問解答・解説

(1) $u=\sin\theta$ と置換すると $du=\cos\theta\,d\theta$、端点は $-1/2,1/2$ だから $$\displaystyle b_n=\int_{-1/2}^{1/2}e^{nu}\,du =\frac{e^{n/2}-e^{-n/2}}n.$$ (2) 区間内では $\sqrt3/2\leq\cos\theta\leq1$。正の重み $e^{n\sin\theta}$ を掛けて積分すると $$\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}a_n\leq b_n\leq a_n,$$ すなわち $b_n\leq a_n\leq2b_n/\sqrt3$。 (3) (1)より $nb_n=e^{n/2}(1-e^{-n})$。上の不等式と正値性より $$\displaystyle \frac12+\frac{\log(1-e^{-n})}{n} \leq\frac1n\log(na_n) \leq\frac12+\frac{\log(2/\sqrt3)+\log(1-e^{-n})}{n}.$$ 左右の端はともに $1/2$ に収束するので、はさみうちにより求める極限は $1/2$。

(1)置換と端点確認。(2)cosの範囲と正の重みから積分不等式。(3)logが定義される正値を確認し、定数倍率の対数項/nが0に収束。