1東京大学 2016年 数学 第1問解答・解説

$u>0$ に対し $$\displaystyle h(u)=u-\ln(1+u),\qquad g(u)=\ln(1+u)-\frac{2u}{2+u}$$ とおく。$h(0)=g(0)=0$ であり、 $$\displaystyle h'(u)=\frac{u}{1+u}>0,\qquad g'(u)=\frac{1}{1+u}-\frac{4}{(2+u)^2} =\frac{u^2}{(1+u)(2+u)^2}>0$$ だから、 $$\displaystyle \frac{2u}{2+u}<\ln(1+u)<u.$$ 両辺を $u>0$ で割ると $$\displaystyle \frac{2}{2+u}<\frac{\ln(1+u)}{u}<1.$$ したがって $u\to0+$ のとき $\ln(1+u)/u\to1$ である。問題の定義に $u=1/t$ を代入すれば $$\displaystyle e=\lim\limits _{u\to0+}(1+u)^{1/u},\qquad \ln e=\lim\limits _{u\to0+}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.$$ ここで任意の $x>0$ に対し $u=1/x$ とおく。対数の単調性と上の不等式から $$\displaystyle \ln\left(\left(1+\frac1x\right)^x\right) =x\ln(1+u)=\frac{\ln(1+u)}{u}<1=\ln e,$$ ゆえに $\displaystyle \left(1+\frac1x\right)^x<e$ である。また $$\displaystyle \ln\left(\left(1+\frac1x\right)^{x+\frac12}\right) =\left(1+\frac u2\right)\frac{\ln(1+u)}u >\left(1+\frac u2\right)\frac{2}{2+u}=1=\ln e,$$ ゆえに $\displaystyle e<\left(1+\frac1x\right)^{x+\frac12}$ である。従ってすべての正の実数 $x$ に対して $$\displaystyle \boxed{\left(1+\frac1x\right)^x<e<\left(1+\frac1x\right)^{x+\frac12}}.$$