2東京大学 2016年 数学 第2問解答・解説

各試合で直前の勝者が再び勝つと、その試合で2連勝となり優勝が決まる。したがって優勝が決まらないためには、次の試合では待機チームが勝たなければならない。

(1) 1試合目の勝者が A の場合、優勝が決まらない試合の勝者は順に $$A,C,B,A,C,B,\ldots$$ となる。この列で $A$ が $n-1$ 試合目の勝者となるのは $n-1\equiv1\pmod3$、すなわち $n\equiv2\pmod3$ のときである。この経路の最後に A が再び勝つ確率は $2^{-n}$ である。

1試合目の勝者が B の場合、優勝が決まらない試合の勝者は順に $$B,C,A,B,C,A,\ldots$$ となる。この列で $A$ が $n-1$ 試合目の勝者となるのは $n-1\equiv0\pmod3$、すなわち $n\equiv1\pmod3$ のときであり、同様に確率は $2^{-n}$ である。どちらの場合も、指定した $n$ 試合の勝者がすべて定まるので、その経路の確率は $(1/2)^n$。従って $$P_n= \begin{cases} 2^{-n}&(n\equiv1,2\pmod3),\\ 0&(n\equiv0\pmod3) \end{cases} \qquad(n\ge2).$$

また、1試合目の勝者が A の経路では、A が最後に対戦する相手は C である。1試合目の勝者が B の経路では、A が最後に対戦する相手は B である。

(2) $E$ を「総試合数が $3m$ 回以下で A が優勝する事象」とする。A の最後の対戦相手が B となる優勝時刻は $n=3k+1$ ($1\le k\le m-1$) なので $$\displaystyle P(E\text{ かつ最後の相手がB}) =\sum\limits _{k=1}^{m-1}2^{-(3k+1)} =\frac{1-8^{-(m-1)}}{14}.$$ ここで $m=1$ の和は空和であり、右辺も $0$ となる。

事象 $E$ に含まれる優勝時刻は、最後の相手が B となる $n=3k+1\ (1\le k\le m-1)$ と、最後の相手が C となる $n=3k+2\ (0\le k\le m-1)$ である。従って $$\displaystyle P(E)=\sum\limits _{k=1}^{m-1}2^{-(3k+1)} +\sum\limits _{k=0}^{m-1}2^{-(3k+2)} =\frac{1-8^{-(m-1)}}{14}+\frac{2}{7}(1-8^{-m}) =\frac{5-12\cdot8^{-m}}{14}.$$ よって求める条件付き確率は $$\displaystyle \frac{P(E\text{ かつ最後の相手がB})}{P(E)} =\frac{1-8^{-(m-1)}}{5-12\cdot8^{-m}} =\frac{8^m-8}{5\cdot8^m-12}.$$