東京大学 2016年数学第3問解答・解説

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1問題

東京大学2016年度第3問

$a$ を $1<a<3$ をみたす実数とし，座標空間内の4点 $P_1(1,0,1), P_2(1,1,1), P_3(1,0,3), Q(0,0,a)$ を考える。直線 $P_1Q, P_2Q, P_3Q$ と $xy$ 平面の交点をそれぞれ $R_1,R_2,R_3$ として，三角形 $R_1R_2R_3$ の面積を $S(a)$ とする。 $S(a)$ を最小にする $a$ と，そのときの $S(a)$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \boxed{a=2,\qquad \min\limits _{1<a<3}S(a)=4}.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

直線を媒介変数表示して $xy$ 平面との交点を求める。 $P_1Q$ と $P_2Q$ は $z=0$ のときの媒介変数が $-1/(a-1)$ だから $\displaystyle R_1=\left(\frac{a}{a-1},0,0\right),\qquad R_2=\left(\frac{a}{a-1},\frac{a}{a-1},0\right).$ $P_3Q$ では $z=0$ のときの媒介変数が $3/(3-a)$ となり $\displaystyle R_3=\left(-\frac{a}{3-a},0,0\right).$ $R_1R_3$ は $x$ 軸上、 $R_1R_2$ はそれに垂直である。各長さは $\displaystyle |R_1R_2|=\frac{a}{a-1},\qquad |R_1R_3|=\frac{a}{a-1}+\frac{a}{3-a}=\frac{2a}{(a-1)(3-a)}.$ したがって $\displaystyle S(a)=\frac12|R_1R_2||R_1R_3|=\frac{a^2}{(a-1)^2(3-a)}.$ $1<a<3$ では $S(a)>0$ なので対数微分でき、 $\displaystyle \frac{S'(a)}{S(a)}=\frac2a-\frac2{a-1}+\frac1{3-a}=\frac{(a+3)(a-2)}{a(a-1)(3-a)}.$ 分母は正だから、 $S$ は $1<a<2$ で減少、 $2<a<3$ で増加する。よって最小は $a=2$ であり、 $S(2)=4$ 。

この問題で使う考え方

空間内の直線と平面の交点を媒介変数で求める
直角三角形の面積
対数微分と増減判定

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