5東北大学 2012年 数学 第5問解答・解説

円周角の定理より $\angle APB=\pi/2$。上下の半円で長さは対称なので、$P$ が上側にある場合を考え、$\theta=\angle PBA$ とおく。$0<\theta<\pi/2$、$AB=1$、$BP=x$ より $$x=\cos\theta,\qquad AP=\sin\theta=\sqrt{1-x^2},\qquad 0<x<1.$$ $Q$ は線分 $AB$ 上にあるため $\angle PBQ=\theta$。また $\angle BPQ=\pi/3$ なので $$\displaystyle \angle BQP=\pi-\frac\pi3-\theta=\frac{2\pi}3-\theta.$$ 三角形 $BPQ$ の正弦定理から $$\displaystyle \frac{y}{\sin\theta}=\frac{x}{\sin(2\pi/3-\theta)},\qquad \sin\left(\frac{2\pi}3-\theta\right)=\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta+\frac12\sin\theta.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{y=\frac{2x\sqrt{1-x^2}}{\sqrt3\,x+\sqrt{1-x^2}}}\qquad(0<x<1).$$ なお正弦定理から $\displaystyle BQ=\dfrac{\sqrt3\cos\theta}{\sqrt3\cos\theta+\sin\theta}$ で、これは $0$ と $1$ の間にあるため、$Q$ は線分 $AB$ 上にある。

(2) $t=\tan\theta$ とおくと $t>0$、$x=1/\sqrt{1+t^2}$ であり、上式は $$\displaystyle Y(t)=\frac{2t}{(t+\sqrt3)\sqrt{1+t^2}}$$ となる。$Y(t)>0$ より対数微分して $$\displaystyle \frac{Y'(t)}{Y(t)}=\frac1t-\frac1{t+\sqrt3}-\frac{t}{1+t^2} =\frac{\sqrt3-t^3}{t(t+\sqrt3)(1+t^2)}.$$ 分母は正なので、$Y$ は $t<3^{1/6}$ で増加し、$t>3^{1/6}$ で減少する。また $\displaystyle \lim\limits _{t\to0+}Y(t)=\lim\limits _{t\to\infty}Y(t)=0$ であるから、最大値は $t=3^{1/6}$ で達成する。そのとき $$\displaystyle x=\frac1{\sqrt{1+t^2}}=\boxed{\frac1{\sqrt{1+\sqrt[3]{3}}}}.$$