6東北大学 2012年 数学 第6問解答・解説

(1) $a_1=1$ であり、帰納的にすべての $a_n$ は正である。したがって $$\displaystyle a_{n+1}^2-1=\frac{3a_n+4}{2a_n+3}-1=\frac{a_n+1}{2a_n+3}>0.$$ よって $a_{n+1}>1$ であり、特に $n\ge2$ で $a_n>1$ である。

(2) $\alpha>0$ と $2\alpha+3>0$ に注意して方程式を整理すると $$\displaystyle \alpha^2=\frac{3\alpha+4}{2\alpha+3}\quad\text{すなわち}\quad 2\alpha^3+3\alpha^2-3\alpha-4=0.$$ $$2\alpha^3+3\alpha^2-3\alpha-4=(\alpha+1)(2\alpha^2+\alpha-4)$$ より、正の解は $$\displaystyle \alpha=\frac{-1+\sqrt{33}}{4}=\frac{\sqrt{33}-1}{4}.$$ また $\sqrt{33}>5$ なので $\alpha>1$ である。

(3) 漸化式と $\alpha^2=(3\alpha+4)/(2\alpha+3)$ から $$\displaystyle \alpha^2-a_{n+1}^2=\frac{3\alpha+4}{2\alpha+3}-\frac{3a_n+4}{2a_n+3}=\frac{\alpha-a_n}{(2\alpha+3)(2a_n+3)}.$$ $a_1=1<\alpha$ である。$a_n<\alpha$ なら右辺は正なので $a_{n+1}^2<\alpha^2$。両辺の平方根は正であるから $a_{n+1}<\alpha$。よって数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $a_n<\alpha$ である。

(4) (3) の恒等式を因数分解し、正の $\alpha-a_n$ で割ると $$\displaystyle \frac{\alpha-a_{n+1}}{\alpha-a_n}=\frac{1}{(\alpha+a_{n+1})(2\alpha+3)(2a_n+3)}.$$ (1) と $a_1=1$、また $\alpha>1$ より、$a_n\ge1$、$a_{n+1}>1$、$2\alpha+3>5$ である。したがって分母は $2\cdot5\cdot5=50$ より大きく、 $$\displaystyle 0<\frac{\alpha-a_{n+1}}{\alpha-a_n}<\frac1{50}.$$ よって $r=1/50$ とすれば条件を満たす。さらに $$\displaystyle 0<\alpha-a_n\le\frac{\alpha-1}{50^{n-1}}\longrightarrow0,$$ ゆえに $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=\alpha=\frac{\sqrt{33}-1}{4}.$$