東北大学 2012年数学第3問解答・解説

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1問題

東北大学2012年度第3問

袋A, 袋Bのそれぞれに, 1からNの自然数がひとつずつ書かれたN枚のカードが入っている。これらのカードをよくかきまぜて取り出していく。以下の問いに答えよ。

(1) N = 4 とする。袋 A, B のそれぞれから同時に 1 枚ずつカードを取り出し, 数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す。ただし, 取り出したカードは元には戻さないものとする。4 回のカードの取り出し操作が終わった後, 数字が一致していた回数を X とする。X = 1, X = 2, X = 3, X = 4 となる確率をそれぞれ求めよ。また, X の期待値を求めよ。

(2) N = 3 とし, n は自然数とする。袋 A, B のそれぞれから同時に 1 枚ずつカードを取り出し, カードの数字が一致していたら, それらのカードを取り除き, 一致していなかったら, 元の袋に戻すという操作を繰り返す。カードが初めて取り除かれるのが n 回目で起こる確率を $p_n$ とし, n 回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を $q_n$ とする。 $p_n$ と $q_n$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle P(X=1)=\frac13,\ P(X=2)=\frac14,\ P(X=3)=0,\ P(X=4)=\frac1{24},\ E[X]=1$ . (2) $\displaystyle p_n=\frac13\left(\frac23\right)^{n-1};\quad q_1=q_2=0,\quad q_n=\left(\frac23\right)^{n-2}-\left(\frac12\right)^{n-2}\ (n\geq3)$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 袋Aの順序を固定し、Bの24置換の固定点数を数えるとP(X=1)=1/3,P(X=2)=1/4,P(X=3)=0,P(X=4)=1/24。対称な一致指示変数4個の期待値の和からE[X]=1。(2) 残り3種では一致確率1/3なのでp_n=(1/3)(2/3)^(n−1)。全除去は最低3回。最初の除去がj回目なら次段階での一致確率は1/2となるので q_n=Σ_{j=1}^{n−2}(1/3)(2/3)^(j−1)(1/2)^(n−j−1)=(2/3)^(n−2)−(1/2)^(n−2)。q₁=q₂=0。

原文p.2第3問の(1)(2)を視認。N=4で袋Aの順を固定するとBは24置換。固定点数Xは1,2,3,4に対し確率1/3,1/4,0,1/24、期待値1。N=3の反復で初回一致確率p_n=(1/3)(2/3)^(n−1)。全除去時刻はq₁=q₂=0、n≧3では最初の一致時刻で場合分けして等比和、q_n=(2/3)^(n−2)−(1/2)^(n−2)。旧B/F一致。

この問題で使う考え方

固定点の数え上げ
独立試行と幾何分布
場合分けの和

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