1島根大学 2012年 数学 第1問解答・解説

$n\ge1$ とし、点 $P_k$ の座標を $x_0=0$, $\displaystyle x_k=\sum\limits _{r=1}^{k}\frac1r$ とおく。$0\le i<j\le n$ に対して $$\displaystyle d_{ij}=|P_iP_j|=x_j-x_i=\sum\limits _{k=i+1}^{j}\frac1k.$$ 区間 $P_{k-1}P_k$ をまたぐ点対は、左端 $P_i$ が $k$ 通り、右端 $P_j$ が $n-k+1$ 通りある。したがって、この区間の長さ $1/k$ が全点対距離の和に加える量は $$\displaystyle \frac1k\,k(n-k+1)=n-k+1.$$ よって全点対の距離の和は $$\displaystyle \sum\limits _{0\le i<j\le n}d_{ij}=\sum\limits _{k=1}^{n}(n-k+1)=\frac{n(n+1)}2.$$ 点対は $\displaystyle \binom{n+1}{2}=n(n+1)/2$ 通りで、いずれも同確率なので $$\displaystyle \boxed{\mathbb E[d]=\frac{\sum\limits _{i<j}d_{ij}}{\binom{n+1}{2}}=1}.$$

各距離を、その2点の間にある隣接区間長の和で表す。区間 $P_{k-1}P_k$ をまたぐ点対は $k(n-k+1)$ 通りなので、その区間が距離総和に寄与する量は $n-k+1$。全区間の寄与を足し、等確率な点対数で割る。