3琉球大学 2011年 数学 第3問解答・解説

各回の抽出は復元抽出なので、記録列は $4^n$ 通りで全て同様に確からしい。 (1) 最大公約数 $X=3$ となるには全て3でなければならず、$X=4$ も全て4の場合だけ。従って $$\boxed{P(X=3)=P(X=4)=4^{-n}}.$$ (2) $X=2$ となるのは全て2または4で、少なくとも一度2が出る場合。全て4の1列を除くので $$\displaystyle \boxed{P(X=2)=\frac{2^n-1}{4^n}}.$$ (3) $X$ は $1,2,3,4$ のいずれかなので余事象から $$\displaystyle P(X=1)=1-\frac{2^n+1}{4^n}.$$ 従って期待値は $$\displaystyle \begin{aligned} E(X)&=1-\frac{2^n+1}{4^n}+2\frac{2^n-1}{4^n}+\frac3{4^n}+\frac4{4^n}\\ &=\boxed{1+\frac{2^n+4}{4^n}}. \end{aligned}$$