琉球大学 2011年数学第1問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

琉球大学2011年度第1問

実数 $p$ に対して，行列 $A,B,C$ をそれぞれ $A=\begin{pmatrix}0&p\\1&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1+p\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1&p\\1+p&-1\end{pmatrix}$ とおく。さらに，行列 $A_n\ (n=1,2,3,\ldots)$ を $A_1=A,\qquad A_{n+1}=A_nB-BA_n+C\quad(n=1,2,3,\ldots)$ で定める。次の問いに答えよ。（50点）

問1 $A_2,A_3$ を求めよ。

問2 $A_n\ (n=1,2,3,\ldots)$ を推測し，その推測が正しいことを数学的帰納法を用いて示せ。

（解答は次のページの解答欄に記入すること）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

問1 A_2
[[0,p(p+1)],[1,0]]
問1 A_3
$[[0,p(p^2+p+1)],[1,0]]$
問2
$A_n=[[0,p+p^2+...+p^n],[1,0]] (n=1,2,...)$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

行列積を成分ごとに計算すると $A_2=\begin{pmatrix}0&p+p^2\\1&0\end{pmatrix}$ 、 $A_3=\begin{pmatrix}0&p+p^2+p^3\\1&0\end{pmatrix}$ となる。右上成分の有限和 $S_n=p+p^2+\cdots+p^n$ を推測し、 $A_1$ で成立することと、仮定から漸化式で $A_{n+1}=\begin{pmatrix}0&p(S_n+1)\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&S_{n+1}\\1&0\end{pmatrix}$ となることを示して帰納法を完成する。有限和表示なので $p=0,1$ を含む全実数 $p$ で成り立つ。

この問題で使う考え方

2×2行列の成分計算
漸化式から一般項を予想
数学的帰納法

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。