4琉球大学 2011年 数学 第4問解答・解説

問1

部分積分により $$\displaystyle \int x\sin 2x\,dx=-\frac{x}{2}\cos 2x+\frac14\sin 2x$$ である。したがって $$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}x\sin 2x\,dx=\left[-\frac{x}{2}\cos 2x+\frac14\sin 2x\right]_{-\pi}^{\pi}=-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=-\pi.$$

問2

積和の公式から $$\displaystyle \sin mx\sin nx=\frac12\{\cos (m-n)x-\cos (m+n)x\}.$$ 整数$k\ne0$について $$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos kx\,dx=\left[\frac{\sin kx}{k}\right]_{-\pi}^{\pi}=0.$$ $m\ne n$なら$m-n\ne0$かつ$m+n\ne0$なので、求める積分は$0$である。一方、$m=n$なら $$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 mx\,dx=\frac12\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos 2mx)\,dx=\pi.$$ よって、$m=n$のとき$\pi$、$m\ne n$のとき$0$である。

問3

部分積分と三角関数の積分公式から $$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx=\frac{2\pi^3}{3},\quad \int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx=2\pi,\quad \int_{-\pi}^{\pi}x\sin 2x\,dx=-\pi.$$ また、$\sin^2 t=(1-\cos 2t)/2$および問2の結果から $$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 x\,dx=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 2x\,dx=\pi,\quad \int_{-\pi}^{\pi}\sin x\sin 2x\,dx=0.$$ これらを$I$の展開に用いると $$\displaystyle \begin{aligned}I&=\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx-2a\int_{-\pi}^{\pi}x\sin x\,dx-2b\int_{-\pi}^{\pi}x\sin 2x\,dx\\&\qquad+a^2\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2x\,dx+2ab\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\sin 2x\,dx+b^2\int_{-\pi}^{\pi}\sin^22x\,dx\\&=\frac{2\pi^3}{3}-4\pi a+2\pi b+\pi a^2+\pi b^2\\&=\pi(a-2)^2+\pi(b+1)^2+\frac{2\pi^3}{3}-5\pi.\end{aligned}$$ $a,b$は実数であり、二つの平方はともに$0$以上である。したがって最小値は$2\pi^3/3-5\pi$で、$a=2, b=-1$のときに限りこの値をとる。

実際に$a=2, b=-1$を展開後の式に代入すると$I=2\pi^3/3-8\pi-2\pi+4\pi+\pi=2\pi^3/3-5\pi$となり、最小値と一致する。