1九州大学 2019年 数学 第1問解答・解説

自然数 $n$ を固定し， $$\displaystyle J(x,y)=\int_0^1\bigl(\sin(2n\pi t)-xt-y\bigr)^2\,dt$$ とおく。$x,y$ がすべての実数を動くときの $J(x,y)$ の最小値が $I_n$ である。

(1) 展開して基本積分に帰着させる

被積分関数を展開すると $$\displaystyle \begin{aligned} J(x,y)={}&\int_0^1\sin^2(2n\pi t)\,dt-2x\int_0^1t\sin(2n\pi t)\,dt\\ &-2y\int_0^1\sin(2n\pi t)\,dt+x^2\int_0^1t^2\,dt\\ &+2xy\int_0^1t\,dt+y^2\int_0^1dt. \end{aligned}$$ となる。ここで $$\displaystyle a_n=\int_0^1\sin(2n\pi t)\,dt,\qquad b_n=\int_0^1 t\sin(2n\pi t)\,dt,\qquad c_n=\int_0^1\sin^2(2n\pi t)\,dt$$ とおく（$n$ は自然数なので $2n\pi,\,4n\pi$ はいずれも $2\pi$ の整数倍であり，$\cos(2n\pi)=1,\ \sin(2n\pi)=0,\ \sin(4n\pi)=0$ が成り立つことを用いる）。

$$\displaystyle a_n=\Bigl[-\frac{\cos(2n\pi t)}{2n\pi}\Bigr]_0^1=\frac{-\cos(2n\pi)+1}{2n\pi}=0.$$

$b_n$ は部分積分により，$u=t,\ dv=\sin(2n\pi t)\,dt$（$\displaystyle v=-\dfrac{\cos(2n\pi t)}{2n\pi}$）ととると $$\displaystyle b_n=\Bigl[-\frac{t\cos(2n\pi t)}{2n\pi}\Bigr]_0^1+\int_0^1\frac{\cos(2n\pi t)}{2n\pi}\,dt =-\frac{\cos(2n\pi)}{2n\pi}+\Bigl[\frac{\sin(2n\pi t)}{(2n\pi)^2}\Bigr]_0^1 =-\frac{1}{2n\pi}+0=-\frac{1}{2n\pi}.$$

$c_n$ は倍角の公式 $\displaystyle \sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$ より $$\displaystyle c_n=\int_0^1\frac{1-\cos(4n\pi t)}{2}\,dt=\frac12-\frac12\Bigl[\frac{\sin(4n\pi t)}{4n\pi}\Bigr]_0^1=\frac12-0=\frac12.$$

また $\displaystyle\int_0^1 t^2\,dt=\frac13,\ \int_0^1 t\,dt=\frac12,\ \int_0^1 dt=1$ である。$a_n=0$ に注意してこれらを代入すると $$\displaystyle J(x,y)=\frac12-2b_nx+\frac13x^2+xy+y^2$$ という $x,y$ の整式（$y$ について，また $x$ について，それぞれ2次式）が得られる。

(2) 平方完成を2回行って最小値を求める

まず $x$ を固定し，$y$ の2次式として平方完成する。 $$\displaystyle J(x,y)=\left(y+\frac{x}{2}\right)^2-\frac{x^2}{4}+\frac13x^2-2b_nx+\frac12 =\left(y+\frac{x}{2}\right)^2+\frac{1}{12}x^2-2b_nx+\frac12.$$ 右辺は $\displaystyle y=-\dfrac{x}{2}$ のとき，かつそのときに限り最小（この $x$ に対する最小値をとる）。このとき $$\displaystyle g(x)=\frac{1}{12}x^2-2b_nx+\frac12$$ について，再び $x$ の2次式として平方完成すると $$\displaystyle g(x)=\frac{1}{12}\bigl(x^2-24b_nx\bigr)+\frac12=\frac{1}{12}\bigl(x-12b_n\bigr)^2-12b_n^2+\frac12.$$ $x^2$ の係数 $\displaystyle \dfrac1{12}>0$ より，$g(x)$ は $x=12b_n$ のとき最小値 $\displaystyle \dfrac12-12b_n^2$ をとる。

したがって $J(x,y)$ の最小値は $$\displaystyle I_n=\frac12-12b_n^{\,2}$$ であり，このとき（最小を与える $x,y$ は，参考として） $$\displaystyle x=12b_n=-\frac{6}{n\pi},\qquad y=-\frac{x}{2}=\frac{3}{n\pi}$$ である。

(3) $I_n$ を求め極限をとる

$\displaystyle b_n=-\dfrac{1}{2n\pi}$ であるから $\displaystyle b_n^{\,2}=\dfrac{1}{4n^2\pi^2}$ より $$\displaystyle I_n=\frac12-12\cdot\frac{1}{4n^2\pi^2}=\frac12-\frac{3}{n^2\pi^2}.$$ この式は任意の自然数 $n$ で成り立つ厳密な等式である。$n\to\infty$ のとき $\displaystyle \dfrac{3}{n^2\pi^2}\to0$ であるから $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}I_n=\lim\limits _{n\to\infty}\left(\frac12-\frac{3}{n^2\pi^2}\right)=\frac12.$$

検算 $x=y=0$（何も近似しない場合）では $\displaystyle J(0,0)=c_n=\dfrac12$ となり，これは $I_n$ の上界を与えるはずである。実際 $\displaystyle I_n=\dfrac12-\dfrac{3}{n^2\pi^2}<\dfrac12$ であり整合する。さらに $J$ の $2$次形式の部分 $\displaystyle \dfrac13x^2+xy+y^2$ の判別式相当量は，$y$ について平方完成した係数 $\displaystyle \dfrac{1}{12}>0$ であることから，得られた停留点が確かに最小値を与えることも確認できる（$n=1$ で数値計算すると $\displaystyle I_1=\dfrac12-\dfrac{3}{\pi^2}\fallingdotseq0.196$ で，$\displaystyle 0<I_1<\dfrac12$ を満たす）。以上より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}I_n=\frac12.$$

自然数 $n$ を固定し， $$\displaystyle J(x,y)=\int_0^1\bigl(\sin(2n\pi t)-xt-y\bigr)^2\,dt$$ とおく。$x,y$ がすべての実数を動くときの $J(x,y)$ の最小値が $I_n$ である。

(1) 展開して基本積分に帰着させる

被積分関数を展開すると $$\displaystyle J(x,y)=\int_0^1\sin^2(2n\pi t)\,dt-2x\int_0^1 t\sin(2n\pi t)\,dt-2y\int_0^1\sin(2n\pi t)\,dt+x^2\int_0^1 t^2\,dt+2xy\int_0^1 t\,dt+y^2\int_0^1 dt$$ となる。ここで $$\displaystyle a_n=\int_0^1\sin(2n\pi t)\,dt,\qquad b_n=\int_0^1 t\sin(2n\pi t)\,dt,\qquad c_n=\int_0^1\sin^2(2n\pi t)\,dt$$ とおく（$n$ は自然数なので $2n\pi,\,4n\pi$ はいずれも $2\pi$ の整数倍であり，$\cos(2n\pi)=1,\ \sin(2n\pi)=0,\ \sin(4n\pi)=0$ が成り立つことを用いる）。

$$\displaystyle a_n=\Bigl[-\frac{\cos(2n\pi t)}{2n\pi}\Bigr]_0^1=\frac{-\cos(2n\pi)+1}{2n\pi}=0.$$

$b_n$ は部分積分により，$u=t,\ dv=\sin(2n\pi t)\,dt$（$\displaystyle v=-\dfrac{\cos(2n\pi t)}{2n\pi}$）ととると $$\displaystyle b_n=\Bigl[-\frac{t\cos(2n\pi t)}{2n\pi}\Bigr]_0^1+\int_0^1\frac{\cos(2n\pi t)}{2n\pi}\,dt =-\frac{\cos(2n\pi)}{2n\pi}+\Bigl[\frac{\sin(2n\pi t)}{(2n\pi)^2}\Bigr]_0^1 =-\frac{1}{2n\pi}+0=-\frac{1}{2n\pi}.$$

$c_n$ は倍角の公式 $\displaystyle \sin^2\theta=\dfrac{1-\cos2\theta}{2}$ より $$\displaystyle c_n=\int_0^1\frac{1-\cos(4n\pi t)}{2}\,dt=\frac12-\frac12\Bigl[\frac{\sin(4n\pi t)}{4n\pi}\Bigr]_0^1=\frac12-0=\frac12.$$

また $\displaystyle\int_0^1 t^2\,dt=\frac13,\ \int_0^1 t\,dt=\frac12,\ \int_0^1 dt=1$ である。$a_n=0$ に注意してこれらを代入すると $$\displaystyle J(x,y)=\frac12-2b_nx+\frac13x^2+xy+y^2$$ という $x,y$ の整式（$y$ について，また $x$ について，それぞれ2次式）が得られる。

(2) 平方完成を2回行って最小値を求める

まず $x$ を固定し，$y$ の2次式として平方完成する。 $$\displaystyle J(x,y)=\left(y+\frac{x}{2}\right)^2-\frac{x^2}{4}+\frac13x^2-2b_nx+\frac12 =\left(y+\frac{x}{2}\right)^2+\frac{1}{12}x^2-2b_nx+\frac12.$$ 右辺は $\displaystyle y=-\dfrac{x}{2}$ のとき，かつそのときに限り最小（この $x$ に対する最小値をとる）。このとき $$\displaystyle g(x)=\frac{1}{12}x^2-2b_nx+\frac12$$ について，再び $x$ の2次式として平方完成すると $$\displaystyle g(x)=\frac{1}{12}\bigl(x^2-24b_nx\bigr)+\frac12=\frac{1}{12}\bigl(x-12b_n\bigr)^2-12b_n^2+\frac12.$$ $x^2$ の係数 $\displaystyle \dfrac1{12}>0$ より，$g(x)$ は $x=12b_n$ のとき最小値 $\displaystyle \dfrac12-12b_n^2$ をとる。

したがって $J(x,y)$ の最小値は $$\displaystyle I_n=\frac12-12b_n^{\,2}$$ であり，このとき（最小を与える $x,y$ は，参考として） $$\displaystyle x=12b_n=-\frac{6}{n\pi},\qquad y=-\frac{x}{2}=\frac{3}{n\pi}$$ である。

(3) $I_n$ を求め極限をとる

$\displaystyle b_n=-\dfrac{1}{2n\pi}$ であるから $\displaystyle b_n^{\,2}=\dfrac{1}{4n^2\pi^2}$ より $$\displaystyle I_n=\frac12-12\cdot\frac{1}{4n^2\pi^2}=\frac12-\frac{3}{n^2\pi^2}.$$ この式は任意の自然数 $n$ で成り立つ厳密な等式である。$n\to\infty$ のとき $\displaystyle \dfrac{3}{n^2\pi^2}\to0$ であるから $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}I_n=\lim\limits _{n\to\infty}\left(\frac12-\frac{3}{n^2\pi^2}\right)=\frac12.$$

検算 $x=y=0$（何も近似しない場合）では $\displaystyle J(0,0)=c_n=\dfrac12$ となり，これは $I_n$ の上界を与えるはずである。実際 $\displaystyle I_n=\dfrac12-\dfrac{3}{n^2\pi^2}<\dfrac12$ であり整合する。さらに $J$ の $2$次形式の部分 $\displaystyle \dfrac13x^2+xy+y^2$ の判別式相当量は，$y$ について平方完成した係数 $\displaystyle \dfrac{1}{12}>0$ であることから，得られた停留点が確かに最小値を与えることも確認できる（$n=1$ で数値計算すると $\displaystyle I_1=\dfrac12-\dfrac{3}{\pi^2}\fallingdotseq0.196$ で，$\displaystyle 0<I_1<\dfrac12$ を満たす）。以上より $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}I_n=\frac12.$$