5九州大学 2019年 数学 第5問解答・解説

QC採用解説：MM-0d447cc2bf4a-Q5

(1) $a,b,c$ を定める 条件(ア)を代入すると $$ai+b=i(ci+1)=-c+i,\qquad -ai+b=-i(1-ci)=-c-i.$$ 2式の差から $2ai=2i$、よって $a=1$。和から $2b=-2c$、よって $b=-c$。したがって $$\displaystyle w=\frac{z-c}{cz+1}.$$ $c$ が純虚数でないので分母は虚軸上で0にならない。実際 $z=it$ として $1+ict=0$ なら $t\ne0$ かつ $c=i/t$ となり、$c$ が純虚数になってしまう。

(2) 条件(イ)から $c$ を絞る $c=u+iv$ ($u,v$ は実数)、$z=it$ ($t$ は実数) とおく。条件(イ)より $|it-c|^2=|1+ict|^2$ が全ての実数 $t$ で成立する。各辺は $$|it-c|^2=u^2+(t-v)^2, \qquad |1+ict|^2=(1-vt)^2+u^2t^2.$$ これらを展開して等置すると $$u^2+t^2-2vt+v^2=1-2vt+(u^2+v^2)t^2.$$ 多項式恒等式の定数項と $t^2$ の係数を比べて $u^2=1$, $u^2+v^2=1$。ゆえに $v=0$ で、$c=1$ または $c=-1$。

(3) 条件(ウ)から $c$ を選ぶ $c=1$ なら $a=1,b=-1$ であり、$z=0$ に対して $w=-1$ となるので条件(ウ)に反する。$c=-1$ なら $$\displaystyle w=\frac{z+1}{1-z}.$$ $w=-1$ と仮定すると $z+1=-(1-z)$、すなわち $1=-1$ となり不可能。したがって条件(ウ)から $$\boxed{a=1,\quad b=1,\quad c=-1}.$$

(4) 軌跡 $z=it$ とすると $$\displaystyle w=\frac{1+it}{1-it} =\frac{(1+it)^2}{1+t^2} =\frac{1-t^2}{1+t^2}+i\frac{2t}{1+t^2}.$$ 従って $|w|=1$ で、条件(ウ)より $w\ne-1$。逆に $|w|=1$, $w\ne-1$ の任意の点に対して $$\displaystyle z=\frac{w-1}{w+1},\qquad \bar z=\frac{\bar w-1}{\bar w+1} =\frac{1-w}{1+w}=-z,$$ ゆえに $z$ は純虚数であり、その点は実際に軌跡に含まれる。したがって $$\boxed{|w|=1,\quad w\ne-1}\quad\text{を満たす複素数平面上の点全体が }C\text{ である}.$$

図示： 原点を中心とする半径1の円周を描き、負の実軸上の $(-1,0)$ のみ白丸で示す（それ以外の円周はすべて含む）。TikZの例：

照合： 独立解と旧答案は $a=1,b=1,c=-1$ および単位円周から $-1$ を除いた軌跡で一致する。絶対値展開、逆写像での純虚数確認とも正しい。高校数学の複素数計算で完結し、大学のメビウス変換論は不要。 単元： 数学C「複素数平面」。 方法： 既知点の代入、複素数の絶対値の2乗、係数比較、共役による逆包含証明。 定理・公式： $|x+iy|^2=x^2+y^2$、$|w|=1\Rightarrow\bar w=1/w$。 テーマ： 虚軸上の点を複素分数式で移したときの円周軌跡。

留保： 数学内容はPASSだが、PDF表紙に学部別選択表がなく、問題文にも学部指定がない。取得provenanceの医／医表記だけでは医学部への問題割当てを確定できないため、医学部対象scopeは `UNDETERMINED` のままとする。実際のモデル識別情報は `UNVERIFIED`。