3香川大学 2019年 数学 第3問解答・解説

直線 $y=ax+b$ を楕円 $x^2/9+y^2/4=1$ に代入すると、$$(4+9a^2)x^2+18abx+9b^2-36=0.$$$D=4+9a^2>0$ とおく。判別式は $144(D-b^2)$ だから、相異なる2交点をもつ条件は $b^2<D$ である。2交点の $x$ 座標を $x_1,x_2$ とすると、解と係数の関係より $x_1+x_2=-18ab/D$、$x_1x_2=9(b^2-4)/D$。対応する $y$ 座標を $y_i=ax_i+b$ とおけば、$$\displaystyle y_1+y_2=a(x_1+x_2)+2b=\frac{8b}{D},\qquad y_1y_2=a^2x_1x_2+ab(x_1+x_2)+b^2=\frac{4(b^2-9a^2)}{D}.$$実数 $y_1,y_2$ がともに正であるための必要十分条件は、和と積がともに正であること。和が正である条件は $b>0$、積が正である条件は $b^2>9a^2$ である。この2条件は合わせて $b>3|a|$ と書ける。これと相異なる2交点の条件 $b^2<D$ を合わせると、求める領域は $$\boxed{3|a|<b<\sqrt{4+9a^2}}.$$両境界は含まない。下側境界では交点の一方の $y$ 座標が0となり、上側境界では直線が楕円に接して相異なる2交点でなくなる。