2香川大学 2019年 数学 第2問解答・解説

まず、$\displaystyle 0<x<1<\frac{\pi}{2}$ である。$0<1-x^2<1$ より、$1-x^2<\sqrt{1-x^2}$ である。

半径1の円で中心角が$x$の扇形を考える。この扇形の面積は$\displaystyle \frac{x}{2}$であり、2本の半径と弦でできる三角形の面積は$\displaystyle \frac{\sin x}{2}$である。三角形は扇形に含まれ、円弧と弦が異なるので、$\displaystyle \frac{\sin x}{2}<\frac{x}{2}$、すなわち$0<\sin x<x$となる。したがって、$\cos^2x=1-\sin^2x>1-x^2$。ここで$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$より$\cos x>0$であり、$1-x^2>0$でもあるから、正の平方根をとって$\cos x>\sqrt{1-x^2}$を得る。

以上より、$1-x^2<\sqrt{1-x^2}<\cos x$。