1昭和大学 2019年 数学 第1問解答・解説

(1) $z_n$を正の向きに角$\theta$回転させた点を$Q$とすると、対応する複素数は$e^{i\theta}z_n$である。問題文は「回転させた点と$O$を結ぶ線分を$1:2$に内分」とこの順に指定している。したがって$Qz_{n+1}:z_{n+1}O=1:2$であり、$z_{n+1}$は$Q$から$O$へ線分の$1/3$だけ進んだ点、すなわち$O$から$Q$へ$2/3$進んだ点である。よって $$\displaystyle z_{n+1}=\frac23e^{i\theta}z_n.$$ $z_0=r\{\cos\theta_0+i\sin\theta_0\}$を用いて帰納的に $$\displaystyle z_n=r\left(\frac23\right)^n\{\cos(\theta_0+n\theta)+i\sin(\theta_0+n\theta)\}$$ を得る。

(2) $\displaystyle q=\frac23(\cos\theta+i\sin\theta)$とおくと$z_n=q^nz_0$である。$z_0\ne0$は偏角$\theta_0$を定めていることから従い、$q\ne1$なので$z_1-z_0\ne0$。したがって $$\displaystyle \frac{z_{n+1}-z_n}{z_1-z_0}=q^n=\left(\frac23\right)^n\{\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\}.$$ 実数$t$が存在する条件は$\sin(n\theta)=0$、すなわち$n\theta$が$\pi$の整数倍になることである。$\theta/\pi=u/v$を既約正分数で表せるなら、条件を満たす正整数は$n=v,2v,3v,\ldots$。無理数ならそのような正整数は存在しない。

(3) $D_n=z_{n+1}-z_n$とおくと$D_{n+1}=qD_n$である。三角形$P_nP_{n+1}P_{n+2}$の$P_{n+1}$から出る二辺の長さは$|D_n|$と$\displaystyle |D_{n+1}|=\frac23|D_n|$。二辺のなす角は$\pi-\theta$で、その正弦は$\sin\theta$である。高校数学の面積公式$\displaystyle \frac12 ab\sin C$より $$\displaystyle S_n=\frac12|D_n|\,|D_{n+1}|\sin\theta =\frac13|D_n|^2\sin\theta.$$ さらに複素数の絶対値または余弦定理により $$\displaystyle |D_n|^2=|z_n|^2|q-1|^2 =r^2\left(\frac49\right)^n\left(1+\frac49-\frac43\cos\theta\right) =r^2\left(\frac49\right)^n\frac{13-12\cos\theta}{9}.$$ ゆえに $$\displaystyle S_n=\frac{r^2(13-12\cos\theta)\sin\theta}{27}\left(\frac49\right)^n.$$ 公比$4/9$の無限等比級数を足して $$\displaystyle \sum\limits _{n=0}^{\infty}S_n =\frac{r^2(13-12\cos\theta)\sin\theta}{27}\cdot\frac1{1-4/9} =\frac{r^2(13-12\cos\theta)\sin\theta}{15}.$$