3昭和大学 2019年 数学 第3問解答・解説

(1) $3x+7y=2019$を3で割った余りを考えると、$y\equiv0\pmod3$。よって$y=3k$と置くと $$x=673-7k.$$ $x,y$は正の自然数なので$k\ge1$かつ$673-7k\ge1$、従って$1\le k\le96$。各$k$に対し$x$は一意に決まり、組は96組。

(2) $f(x)=0$の根を$\alpha,\beta,\gamma$とする。解と係数の関係から $$\alpha+\beta+\gamma=-3,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=0,\qquad \alpha\beta\gamma=1.$$ $g$の根は$\alpha^2,\beta^2,\gamma^2$なので、その和と二つずつの積の和は $$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 =(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=9,$$ $$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 =(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 -2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)=6.$$ また積は$(\alpha\beta\gamma)^2=1$。従って $$g(x)=x^3-9x^2+6x-1$$ であり、$a=-9,\ b=6,\ c=-1$。

(3-1) 1回目の出目が5または6なら終了するため、確率は$2/6=1/3$。

(3-2) ちょうど2回で終了するには、1回目が$k=1,2,3,4$で、2回目がそれぞれ$5-k$以上である。該当する2回目の出目数は順に$3,4,5,6$、合計18通り。36通りの順序つき出目対は同様に確からしいので確率は$18/36=1/2$。

(3-3) 終了までの回数を$N$とする。$1\le N\le5$ である。$p_j=\Pr(N=j)\ (j=1,\ldots,5)$ とおくと、期待値の定義と有限個の項の並べ替えにより $$\displaystyle \begin{aligned} \mathbb E[N]&=p_1+2p_2+3p_3+4p_4+5p_5\\ &=(p_1+p_2+p_3+p_4+p_5)+(p_2+p_3+p_4+p_5)\\ &\quad +(p_3+p_4+p_5)+(p_4+p_5)+p_5\\ &=\sum\limits _{k=0}^{4}\Pr(N>k). \end{aligned}$$ $k=0$では確率1。$k=1$では1回目の和が4以下である確率$4/6=2/3$。$k=2$では2回の和が4以下となる6通りより$6/36=1/6$。$k=3$では和が3または4となる4通りより$4/216=1/54$。$k=4$では4回すべて1のときだけ和が4以下なので$1/1296$。5回投げれば和は必ず5以上であるから、以後の項は0。従って $$\displaystyle \mathbb E[N]=1+\frac23+\frac16+\frac1{54}+\frac1{1296} =\frac{2401}{1296}.$$