4昭和大学 2019年 数学 第4問解答・解説

(1) 商の微分法を用いると $$\displaystyle f'(x)=\frac{-\sin x(1+\sin x)-\cos^2x}{(1+\sin x)^2} =-\frac{1}{1+\sin x}.$$ 従って $$\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{1+\frac12}=-\frac23.$$

(2) $x,y>0$である。$1/9\le x\le1$では曲線の上下端が$y=1/(9x)$, $y=9x$となり、$1\le x\le9$では$y=x/9$, $y=9/x$となる。従って囲まれた図形の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{1/9}^{1}\left(9x-\frac1{9x}\right)dx +\int_{1}^{9}\left(\frac9x-\frac{x}{9}\right)dx &=\left(\frac{40}{9}-\frac{2\ln3}{9}\right) +\left(18\ln3-\frac{40}{9}\right)\\ &=\frac{160\ln3}{9}. \end{aligned}$$

(3) $\rho=1+\cos\theta$と書けば、与えられた曲線は極座標で半径$\rho$の曲線である。上半分は$0\le\theta\le\pi$に対応する。$x$軸のまわりの回転体を円板・円環で切ると、$x<0$の区間では上側境界の外側の枝が外半径、内側の枝が内半径となる。従って、上半分の境界を$\theta=0$から$\pi$へたどると、外側半径の円板・円環寄与を加え、内側半径の寄与を差し引く符号付き積分 $$\displaystyle V=-\pi\int_0^\pi y(\theta)^2 x'(\theta)\,d\theta$$ で体積が得られる。実際、$x'(\theta)=-\sin\theta(1+2\cos\theta)$で、$0\le\theta\le2\pi/3$では$x'\le0$、$2\pi/3\le\theta\le\pi$では$x'\ge0$となり、後半が内側円環の控除に当たる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} V &=\pi\int_0^\pi(1+\cos\theta)^2\sin^3\theta(1+2\cos\theta)\,d\theta\\ &=\pi\int_{-1}^{1}(1+u)^2(1-u^2)(1+2u)\,du\\ &=\pi\cdot\frac83=\frac{8\pi}{3}, \end{aligned}$$ ここで$u=\cos\theta$と置換した。