2昭和大学 2019年 数学 第2問解答・解説

(1) 補集合は$U=\{1,2,\ldots,99\}$に関するものとする。$3$は$\gcd(3,100)=1$なので$V$に属さない。一方、3の正の約数は1,3の2個で偶数だから$3\in W$である。(a)より$\overline A\cup B=V$なので、$3\notin V$から$3\notin\overline A$かつ$3\notin B$。従って$3\notin\overline A\cap\overline B$となるが、(b)は$\overline A\cap\overline B=W$を要求し$3\in W$。矛盾するため、二条件を満たす$A,B$は存在せず、そのような$B$も存在しない。

(2) $X$の作り方は$\displaystyle \binom{99}{50}$通り。素因数3の指数を$\nu_3$とすると $$\displaystyle \nu_3\binom{99}{50} =\nu_3(99!)-\nu_3(50!)-\nu_3(49!).$$ 階乗中の3の個数を$3,9,27,81,\ldots$の倍数ごとに数えると $$\nu_3(99!)=33+11+3+1=48,\quad \nu_3(50!)=16+5+1=22,\quad \nu_3(49!)=16+5+1=22.$$ 従って$\displaystyle \binom{99}{50}$に含まれる3の指数は$48-22-22=4$。その約数で3の累乗である最大のものは$3^4=81$。

(3) $100=2^2\cdot5^2$なので正の約数の個数は$(2+1)^2=9$、正の約数の和は $$(1+2+4)(1+5+25)=7\cdot31=217.$$ 1から99の整数の素因数指数から約数個数が9を超えるものを列挙すると次の7個である。 $$\begin{array}{c|c|c|c} n&\text{素因数分解}&\text{約数の個数}&\text{約数の和}\\ \hline 48&2^4\cdot3&10&124\\ 60&2^2\cdot3\cdot5&12&168\\ 72&2^3\cdot3^2&12&195\\ 80&2^4\cdot5&10&186\\ 84&2^2\cdot3\cdot7&12&224\\ 90&2\cdot3^2\cdot5&12&234\\ 96&2^5\cdot3&12&252 \end{array}$$ この列挙が尽くされることを確かめる。素数冪は約数個数10以上となる指数が9以上必要だが$2^9>99$。素因数が2種類で指数の組が$(4,1),(5,1),(3,2)$またはその逆なら、99以下で該当するのは48,80,96,72だけであり、他の指数組で約数個数が10以上となるものは最小でも99を超える。素因数が3種類以上なら、約数個数を9より大きくするには少なくとも1つの指数が2以上必要である。指数組$(2,1,1)$の候補は60,84,90で、これ以外の指数の増加や素数の増加は99を超える。4種類以上の素因数を含む数は最小でも$2\cdot3\cdot5\cdot7=210>99$。よって候補は表の7個に限られる。約数和が217を超えるのは$84,90,96$である。