5大阪医科薬科大学 2021年 数学 第5問解答・解説

大阪医科薬科大学 2021年度 数学 Q5

(1) 一次方程式の整数解

$a,b$ は互いに素な自然数である。整数解は全て $$\boxed{(x,y)=(bk,ak)\quad(k\text{ は整数})}$$ である。

(2) 二項係数の等式

条件 $n-1\geq i>j\geq1$ より、各二項係数の階乗表示が使える。左辺は $$\displaystyle \binom ni\binom ij =\frac{n!}{i!(n-i)!}\cdot\frac{i!}{j!(i-j)!} =\frac{n!}{j!(i-j)!(n-i)!}.$$ 右辺は $$\displaystyle \binom nj\binom{n-j}{i-j} =\frac{n!}{j!(n-j)!}\cdot \frac{(n-j)!}{(i-j)!\{(n-j)-(i-j)\}!} =\frac{n!}{j!(i-j)!(n-i)!}.$$ 両辺が同じ値なので $$\displaystyle \boxed{\binom ni\binom ij=\binom nj\binom{n-j}{i-j}}.$$

(3) $\displaystyle \binom nj$ と $\displaystyle \binom ni$ は互いに素でない

背理法で、$\displaystyle A=\binom nj$ と $\displaystyle B=\binom ni$ が互いに素と仮定する。(2)の等式を並べ替えると $$\displaystyle A\binom{n-j}{i-j}=B\binom ij.$$ ここで $\displaystyle x=\binom{n-j}{i-j}$、$\displaystyle y=\binom ij$ とおくと、これは $Ax=By$ の整数解である。(1)より、$A,B$ が互いに素なら、ある整数 $k$ に対して $y=Ak$ となる。従って $A$ は $\displaystyle \binom ij$ を割り切る。

しかし $n>i>j\geq1$ より $$\displaystyle \frac{\binom nj}{\binom ij} =\prod\limits _{s=0}^{j-1}\frac{n-s}{i-s}>1,$$ なぜなら各因子で $n-s>i-s>0$ だからである。よって $\displaystyle 0<\binom ij<\binom nj=A$。正の整数 $A$ がそれより小さい正の整数 $\displaystyle \binom ij$ を割り切ることはできず、矛盾する。従って $$\displaystyle \boxed{\binom nj\text{ と }\binom ni\text{ は互いに素ではない}}.$$

**使用解法:** 互いに素な係数の一次不定方程式の整数解、二項係数の階乗表示、(1)を使った背理法。

**issues:** なし。