1大阪医科薬科大学 2021年 数学 第1問解答・解説

大阪医科薬科大学 2021年度 数学 Q1

(1) 不等式

$a>0$、$0\leq x\leq a$ であるから、$t=a-x$ とおくと $0\leq t\leq a$。このとき全ての量は非負であり、$t^2\leq at$ なので $$\displaystyle \left(\frac{t}{\sqrt a}\right)^2\leq t=(\sqrt t)^2.$$ 両辺の平方根をとって $\displaystyle \frac{t}{\sqrt a}\leq\sqrt t$ を得る。また $t\leq a$ の平方根をとれば $\sqrt t\leq\sqrt a$。$t=a-x$ を戻すと $$\displaystyle \boxed{\frac{a-x}{\sqrt a}\leq\sqrt{a-x}\leq\sqrt a}.$$

(2) 積分の評価

(1)の不等式の各項に正の数 $e^{-x}$ を掛けると大小関係は保たれる。これを $0\leq x\leq a$ で積分して $$\displaystyle \frac1{\sqrt a}\int_0^a e^{-x}(a-x)\,dx \leq I\leq \sqrt a\int_0^a e^{-x}\,dx.$$ 上側は $$\displaystyle \sqrt a\int_0^a e^{-x}\,dx=\sqrt a(1-e^{-a})=\sqrt a-\sqrt a e^{-a}.$$ 下側では部分積分により $$\displaystyle \int_0^a xe^{-x}\,dx=[-(x+1)e^{-x}]_0^a=1-(a+1)e^{-a},$$ 従って $$\displaystyle \int_0^a e^{-x}(a-x)\,dx =a(1-e^{-a})-\{1-(a+1)e^{-a}\}=a-1+e^{-a}.$$ よって下側は $$\displaystyle \frac{a-1+e^{-a}}{\sqrt a} =\sqrt a-\frac{1-e^{-a}}{\sqrt a}.$$ 以上より $$\displaystyle \boxed{\sqrt a-\frac{1-e^{-a}}{\sqrt a}\leq I\leq\sqrt a-\sqrt a e^{-a}}.$$

**使用解法:** 変数の範囲に帰着した平方比較、正の関数を掛けてからの定積分、部分積分。

**issues:** なし。