4大阪医科薬科大学 2021年 数学 第4問解答・解説

大阪医科薬科大学 2021年度 数学 Q4

$\displaystyle 0<2\theta<\frac\pi2$ より $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi4$ である。円錐の底面半径を $r$、高さを $h$、母線の長さを $\ell$ とする。軸を含む断面は、底辺 $2r$、高さ $h$、等しい辺 $\ell$ の二等辺三角形である。内接球の断面はこの三角形の内接円で、半径は1である。

(1) $S$ を $\theta$ で表す

内接円の半径を1とする。三角形を内接円の中心から各辺に分けた3個の三角形の面積の和は、共通の高さが1であることから半周長 $r+\ell$ に等しい。一方、元の三角形の面積は $rh$。従って $$rh=r+\ell.$$ 母線と底面の角は $2\theta$ なので、断面の直角三角形から $$\displaystyle h=r\tan2\theta,\qquad \ell=\frac r{\cos2\theta}.$$ これらを面積関係に代入すると $$\displaystyle 1=\frac{rh}{r+\ell}=\frac{r\tan2\theta}{1+\sec2\theta}, \qquad r=\frac{1+\sec2\theta}{\tan2\theta} =\frac{1+\cos2\theta}{\sin2\theta}=\cot\theta.$$ 円錐の側面積は $S=\pi r\ell$ だから $$\displaystyle \boxed{S=\frac{\pi\cot^2\theta}{\cos2\theta}} =\boxed{\frac{\pi\cos^2\theta}{\sin^2\theta\cos2\theta}}.$$

(2) $S$ のグラフと最小値

$\displaystyle u=\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=\cot^2\theta$ とおく。$0<\theta<\pi/4$ より $u>1$。また $$\displaystyle \cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta =\sin^2\theta(u-1)=\frac{u-1}{u+1},$$ ここで $\sin^2\theta=1/(u+1)$ を用いた。従って $$\displaystyle S(u)=\pi\frac{u(u+1)}{u-1} =\pi\left(u+2+\frac{2}{u-1}\right),\qquad u>1.$$ 増減を調べると $$\displaystyle S'(u)=\pi\left(1-\frac{2}{(u-1)^2}\right).$$ 定義域 $u>1$ で、これは $1<u<1+\sqrt2$ では負、$u=1+\sqrt2$ で0、$u>1+\sqrt2$ では正である。また $u\to1+$ と $u\to\infty$ の両方で $S(u)\to\infty$。従ってグラフは $u=1$ の右側で無限大から減少し、$u=1+\sqrt2$ で唯一の最小値をとった後、無限大へ増加する。

```text S ↑ ╲ ╱ | ╲ ╱ | ╲_______●_________╱ | u=1+√2 +--------------------------------→ u 1 ```

最小値は $$\displaystyle S(1+\sqrt2)=\pi\left(3+\sqrt2+\frac{2}{\sqrt2}\right) =\boxed{\pi(3+2\sqrt2)}.$$

**使用解法:** 軸断面の三角形の面積と内接円半径の関係、三角比による円錐寸法の表現、導関数による増減と最小値の判定。

**issues:** なし。