2大阪医科薬科大学 2021年 数学 第2問解答・解説

大阪医科薬科大学 2021年度 数学 Q2

Aさんが選ぶ3枚の赤札の枚数を $R$ とする。6枚から区別せず3枚を選ぶ方法は $\displaystyle \binom63=20$ 通りであり、$R=r$ となる方法は赤札を $r$ 枚、青札を $3-r$ 枚選ぶ $$\displaystyle \binom3r\binom3{3-r}$$ 通りである。箱への移し方によらず、この $R$ がBさんの箱の中の赤札の枚数である。

(1) 箱の中の赤札の枚数

$$\displaystyle \begin{array}{c|cccc} r&0&1&2&3\\ \hline \binom3r\binom3{3-r}&1&9&9&1\\ P(R=r)&\frac1{20}&\frac9{20}&\frac9{20}&\frac1{20} \end{array}$$ 従って求める確率は順に $$\displaystyle \boxed{\frac1{20},\quad\frac9{20},\quad\frac9{20},\quad\frac1{20}}.$$

(2) 1回目が赤札

箱に赤札が $r$ 枚あるとき、1回目に赤札を引く確率は $r/3$。箱の構成で場合分けすると $$\displaystyle P(\text{1回目赤})=\sum\limits _{r=0}^3P(R=r)\frac r3 =\frac9{20}\cdot\frac13+\frac9{20}\cdot\frac23+\frac1{20}\cdot1 =\boxed{\frac12}.$$

(3) 1回目も2回目も赤札

札を引くたびに箱へ戻すので、箱の構成 $R=r$ を固定すれば、各回に赤札を引く確率は $r/3$ のまま変わらない。従って2回とも赤札となる条件付き確率は $(r/3)^2$ であり、 $$\displaystyle \begin{aligned} P(\text{2回とも赤}) &=\sum\limits _{r=0}^3P(R=r)\left(\frac r3\right)^2\\ &=\frac9{20}\cdot\frac19+\frac9{20}\cdot\frac49+\frac1{20}\cdot1\\ &=\boxed{\frac3{10}}. \end{aligned}$$

(4) $n$ 回すべて赤札だったとき、箱が全て赤札である確率

まず $n\geq1$ とする。箱の赤札が $r$ 枚のとき、復元抽出なので $n$ 回とも赤札となる確率は $(r/3)^n$。特に $r=0$ ならこの確率は0、$r=3$ なら1である。求める条件付き確率は、ベイズの公式を場合の数の比として書けば $$\displaystyle \begin{aligned} P(R=3\mid n\text{回すべて赤}) &=\frac{P(R=3)P(n\text{回すべて赤}\mid R=3)} {\displaystyle\sum\limits _{r=0}^3P(R=r)P(n\text{回すべて赤}\mid R=r)}\\ &=\frac{\frac1{20}} {\frac1{20}+\frac9{20}\left(\frac13\right)^n+ \frac9{20}\left(\frac23\right)^n}\\ &=\boxed{\frac{1}{1+9\left(\frac13\right)^n+9\left(\frac23\right)^n}}. \end{aligned}$$ もし $n=0$ を許すなら、観察がないので条件付き確率は事前確率 $\displaystyle P(R=3)=\frac1{20}$ である。

**使用解法:** 赤札枚数ごとの超幾何分布による場合分け、復元抽出での条件付き確率、ベイズの公式。

**issues:** なし。