3大阪医科薬科大学 2021年 数学 第3問解答・解説

大阪医科薬科大学 2021年度 数学 Q3

(1) $\beta$ の決定

漸化式を代入すると、求める条件は $$\alpha z_n+1-\beta=\alpha(z_n-\beta)=\alpha z_n-\alpha\beta$$ であり、これは $1-\beta=-\alpha\beta$ と同値である。$\alpha\ne1$ より $$\displaystyle \boxed{\beta=\frac1{1-\alpha}}.$$ この値を代入すれば $1-\beta=-\alpha\beta$ が成り立つため、条件を満たす。また同値な一次方程式からこの値以外にない。

(2) 周期があれば $\alpha^{|m-n|}=1$

(1)の関係から、正整数 $k$ について $$z_{k+1}-\beta=\alpha(z_k-\beta).$$ 従って繰り返し代入（または帰納法）により $$z_k-\beta=\alpha^{k-1}(z_1-\beta)$$ である。ここで $$\displaystyle z_1-\beta=1-\frac1{1-\alpha}=-\frac{\alpha}{1-\alpha}\ne0,$$ なぜなら $|\alpha|=1$ から $\alpha\ne0$、かつ仮定で $\alpha\ne1$ だからである。

相異なる $m,n$ について $z_m=z_n$ とする。上の表示から $$\alpha^{m-1}(z_1-\beta)=\alpha^{n-1}(z_1-\beta).$$ 共通の非零因子 $z_1-\beta$ と、指数の小さい方に対応する $\alpha$ のべきを約して、指数の差を取れば $$\boxed{\alpha^{|m-n|}=1}.$$

(3) 無理数回転の場合

$d=|m-n|$ は正整数である。仮に相異なる $m,n$ で $z_m=z_n$ なら、(2)より $\alpha^d=1$。与えられた表示を用いると $$1=\alpha^d=\cos(2\pi dr)+i\sin(2\pi dr).$$ 単位円上でこの値が1となるのは偏角が $2\pi$ の整数倍のときに限るから、$dr$ は整数である。しかし $d$ は0でない整数、$r$ は無理数なので $dr$ は整数にはならない。矛盾する。従って全ての相異なる正整数 $m,n$ について $$\boxed{z_m\ne z_n}.$$

**使用解法:** 定数項を移した漸化式の反復、非零因子の約分、単位円上の三角表示と無理数の性質。

**issues:** なし。