IV慶應義塾大学 2023年 数学 第IV問解答・解説

$C_2$ の半径を $s$ とする。$P$ の $y$ 座標が $r\sin\theta$ で、$C_2$ は $x$ 軸に接するから $s=r\sin\theta$ である。また $C_2$ は半径1の $C_1$ に内接するので、$OP+s=1$、すなわち $r+s=1$ である。したがって $$\displaystyle r=\frac1{1+\sin\theta}.$$ 接点 $Q$ は $C_1$ 上で $OP$ の延長上にあるため $Q=(\cos\theta,\sin\theta)$、また $A=(-1,0)$ である。直線 $AQ$ の傾きは $$\displaystyle t=\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\tan\frac\theta2.$$ 半角の公式を用いると $$\displaystyle r=\frac{1+t^2}{(1+t)^2}.$$ なお $P$ は第1象限にあるので $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$、従って $0<t<1$ である。

(1) よって $\displaystyle (\text{あ})=\frac1{1+\sin\theta}$, $\displaystyle (\text{い})=\frac{1+t^2}{(1+t)^2}$ である。

(2) $P=(r\cos\theta,s)$, $P'=(r\cos\theta,-s)$ だから、三角形 $POP'$ の面積を $K$ とすると $$\displaystyle K=rs=r^2\sin\theta\cos\theta =\frac{2t(1-t)}{(1+t)^3}.$$ 微分すると $$\displaystyle K'(t)=\frac{2(t^2-4t+1)}{(1+t)^4}.$$ 分子の零点は $2-\sqrt3$, $2+\sqrt3$ であり、$0<t<1$ では $t=2-\sqrt3$ の前で増加し、その後減少する。したがって最大となるのは $\displaystyle t=2-\sqrt3=\tan\frac\pi{12}$、すなわち $\displaystyle \theta=\frac\pi6$ のときである。その最大値は $$\displaystyle K=\frac{\sin(\pi/6)\cos(\pi/6)}{(1+\sin(\pi/6))^2}=\frac{\sqrt3}{9}.$$ よって $\displaystyle (\text{う})=\frac\pi6$, $\displaystyle (\text{え})=\frac{\sqrt3}{9}$, $(\text{お})=2-\sqrt3$ である。

(3) $C_2,C_2'$ の中心は $P=(p,s)$, $P'=(p,-s)$（ただし $p=r\cos\theta$）である。$C_3$ は両円に外接するため、その中心は $P,P'$ から等距離にあり、$x$ 軸上にある。$C_1$ に内接する半径 $b$ の円の中心は $X=(\pm(1-b),0)$ と表せる。外接条件は $$(x-p)^2+s^2=(b+s)^2, \quad\text{すなわち}\quad (x-p)^2=b^2+2bs$$ である。ここで $\displaystyle p=\frac{1-t}{1+t}$, $\displaystyle s=\frac{2t}{(1+t)^2}$ である。

まず $x=1-b$ の場合は $$\displaystyle b=\frac{(1-p)^2}{2(1-p+s)}=\frac{t}{2+t}.$$ 一方 $x=-(1-b)$ の場合は $$\displaystyle b=\frac{(1+p)^2}{2(1+p+s)}=\frac1{1+2t}.$$ $0<t<1$ より $\displaystyle \frac1{1+2t}>\frac{t}{2+t}$ だから、大きい方の円の半径は $$\displaystyle b=\frac1{1+2t}.$$ 従って $\displaystyle (\text{か})=\frac1{1+2t}$ である。

(4) 3円の周の長さの和を $L$ とすると、$C_2,C_2'$ の半径はともに $s$ だから $$\displaystyle \frac{L}{2\pi}=2s+b=\frac{4t}{(1+t)^2}+\frac1{1+2t}=:G(t).$$ 微分すると $$\displaystyle G'(t)=\frac{4(1-t)}{(1+t)^3}-\frac2{(1+2t)^2}.$$ 分母は正であり、$G'(t)=0$ は $$2(1-t)(1+2t)^2-(1+t)^3=(3t+1)(1-3t^2)=0$$ と同値である。$0<t<1$ では $t=1/\sqrt3$ の前で増加し、その後減少するため、最大値は $t=1/\sqrt3$、すなわち $\displaystyle \theta=2\arctan(1/\sqrt3)=\frac\pi3$ のときに得られる。このとき $$\displaystyle s=b=\frac{\sqrt3}{2+\sqrt3}=2\sqrt3-3, \qquad L=2\pi(3s)=6\pi(2\sqrt3-3).$$ よって $\displaystyle (\text{き})=\frac\pi3$, $(\text{く})=6\pi(2\sqrt3-3)$ である。