3旭川医科大学 2017年 数学 第3問解答・解説

線分の長さが $1$ で、$\angle OAB=\theta$ だから、$A=(a,0),B=(0,b)$ とおくと $$\displaystyle a^2+b^2=1,\qquad \tan\theta=\frac{b}{a},$$ よって $a=\cos\theta,\ b=\sin\theta$ である。切片形から $$\displaystyle L_\theta:\ \frac{x}{\cos\theta}+\frac{y}{\sin\theta}=1$$ を得る（$\theta>0$ の場合）。$\theta=0$ も含む式は $$\boxed{x\sin\theta+y\cos\theta=\sin\theta\cos\theta}, \qquad\text{すなわち}\qquad \boxed{y=\sin\theta-x\tan\theta}.$$ 特に $\theta=0$ では $y=0$ である。

問2で $x=t$ を代入すると、$P_\theta$ の $y$ 座標は $$\displaystyle f(\theta)=\sin\theta-t\tan\theta,\qquad f'(\theta)=\cos\theta-t\sec^2\theta =\frac{\cos^3\theta-t}{\cos^2\theta}.$$ $\cos^3\theta$ は $0\le\theta<\pi/2$ で単調減少する。したがって $0<t<1$ なら、$f'$ は $\cos^3\theta>t$ の間正、$\cos^3\theta<t$ の間負であり、最大点は $\cos^3\alpha=t$ を満たす。$t=1$ なら $f'(0)=0$、$\theta>0$ で $f'(\theta)<0$ なので最大点は $\alpha=0$ であり、同じ式を満たす。ゆえに $$\boxed{\cos\alpha=\sqrt[3]{t}}.$$

問3では $t=\cos^3\alpha$ を用いて $$P_\alpha=\left(t,\sin\alpha-t\tan\alpha\right) =\left(\cos^3\alpha,\ \sin\alpha-\cos^2\alpha\sin\alpha\right) =\boxed{(\cos^3\alpha,\sin^3\alpha)}.$$ $\alpha=\pi/4$ のとき $P_\alpha=(\sqrt2/4,\sqrt2/4)$ だから $$\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}=\frac12,\qquad \varphi=\frac{\pi}{4}.$$ 極座標は $\boxed{(r,\varphi)=(1/2,\pi/4)}$。

問4では $$x=\cos^3\alpha,\quad y=\sin^3\alpha \quad\text{より}\quad x^{2/3}+y^{2/3}=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1.$$ $0\le\alpha<\pi/2$ より、これは $(1,0)$ を含み $(0,1)$ に近づく第一象限の弧である。$0<\alpha<\pi/2$ では $$\displaystyle \frac{dx}{d\alpha}=-3\cos^2\alpha\sin\alpha,\qquad \frac{dy}{d\alpha}=3\sin^2\alpha\cos\alpha, \qquad \frac{dy}{dx}=-\tan\alpha.$$ 一方 $P_\alpha=(\cos^3\alpha,\sin^3\alpha)$ は $$x\sin\alpha+y\cos\alpha =\sin\alpha\cos^3\alpha+\cos\alpha\sin^3\alpha =\sin\alpha\cos\alpha$$ を満たす。この直線の傾きも $-\tan\alpha$ なので、$P_\alpha$ における接線は $$\boxed{x\sin\alpha+y\cos\alpha=\sin\alpha\cos\alpha}=L_\alpha.$$ 端点 $\alpha=0$ については $$\displaystyle \lim\limits _{\alpha\to0+}\frac{y-0}{x-1} =\lim\limits _{\alpha\to0+}\frac{\sin^3\alpha}{\cos^3\alpha-1}=0$$ だから、端点での接線も $y=0=L_0$ である。概形は次のとおり（$(0,1)$ は含まない極限点）。