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旭川医科大学／2017年度

旭川医科大学 2017年 数学 第2問解答・解説

いろいろな式図形の性質平面上の曲線と複素数平面

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1問題

旭川医科大学2017年度第2問

a,b,ca, b, c を実数とする.3 次方程式 x3+ax2+bx+c=0x^{3} + ax^{2} + bx + c = 0 の 3 つの解を α,β,γ\alpha, \beta, \gamma とする.これらの解は次の 4 つの条件を満たす.

(i) γ=−12\displaystyle \gamma = -\frac{1}{2}

(ii) ∣α∣=∣β∣=1|\alpha | = |\beta | = 1

(iii) α\alpha の虚部は正である

(iv) 複素数平面上の点 A(α), B(β), C(γ) は同一直線 L 上にある

このとき，次の問いに答えよ。

問 1 a,b,ca, b, c および α,β\alpha, \beta の値を求めよ.

問 2 点 P(z) が直線 L 上を動くとき, w1=1+4z2z\displaystyle w_{1}=\frac{1+4z}{2z} で表される点 Q( w1w_{1} ) の軌跡を複素数平面上に図示せよ.

問 3 動点 R( w2w_{2} ) は, arg⁡(β−w2α−w2)=±π2\displaystyle \arg\left(\frac{\beta-w_{2}}{\alpha-w_{2}}\right)=\pm\frac{\pi}{2} を満たす.

このとき, R(w2)R(w_{2}) の軌跡を複素数平面上に図示するとともに, 問2で求めた Q(w1)Q(w_{1}) との距離 ∣w1−w2∣|w_{1}-w_{2}| のとりうる値の範囲を求めよ.

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • a=b=32, c=12,α=−1+i32,β=−1−i32.\displaystyle a=b=\frac32,\space{}c=\frac12,\quad \alpha=\frac{-1+i\sqrt3}{2},\quad \beta=\frac{-1-i\sqrt3}{2}.\quad

    問2: ∣w1−32∣=12, w1≠2\displaystyle \quad |w_1-\frac32|=\frac12,\space{}w_1\ne2\quad .

    問3: ∣w2+12∣=32, w2≠α,β\displaystyle \quad |w_2+\frac12|=\frac{\sqrt3}{2},\space{}w_2\ne\alpha,\beta\quad ,
    3−32≦∣w1−w2∣<5+32.\displaystyle \quad \frac{3-\sqrt3}{2}\le |w_1-w_2|<\frac{5+\sqrt3}{2}.

3解答

解答を見る途中式つきの解答

a,b,ca,b,c は実数なので、α\alpha が非実数なら別の根 β\beta は α‾\overline{\alpha} である。したがって A,BA,B を結ぶ直線は Re⁡z=Re⁡α\operatorname{Re}z=\operatorname{Re}\alpha である。これが C(−12)\displaystyle C(-\frac12) を通るから Re⁡α=−12\displaystyle \operatorname{Re}\alpha=-\frac12。さらに ∣α∣=1|\alpha|=1、Im⁡α>0\operatorname{Im}\alpha>0 より α=−1+i32,β=−1−i32.\displaystyle \alpha=\frac{-1+i\sqrt3}{2},\qquad \beta=\frac{-1-i\sqrt3}{2}. よって α+β=−1\alpha+\beta=-1、αβ=1\alpha\beta=1。根と係数の関係から a=−(α+β+γ)=32,b=αβ+γ(α+β)=32,c=−αβγ=12.\displaystyle a=-(\alpha+\beta+\gamma)=\frac32,\quad b=\alpha\beta+\gamma(\alpha+\beta)=\frac32,\quad c=-\alpha\beta\gamma=\frac12.

問2では z=−12+it\displaystyle z=-\frac12+it（tt は実数） とおくと、 w1=2+12z=2+1−1+2it.\displaystyle w_1=2+\frac1{2z}=2+\frac1{-1+2it}. u=w1−2u=w_1-2 とすれば Re⁡u=−∣u∣2\operatorname{Re}u=-|u|^2 なので ∣u+12∣=12\displaystyle |u+\frac12|=\frac12。逆にこの円上の各点 u≠0u\ne0 は有限な tt に対応する。従って軌跡は ∣w1−32∣=12,w1≠2.\displaystyle \left|w_1-\frac32\right|=\frac12,\qquad w_1\ne2.

問3の条件は、RARA と RBRB のなす角が直角であることと同値である。従って RR は ABAB を直径とする円上にある。ABAB の中点は −12\displaystyle -\frac12、半径は 32\displaystyle \frac{\sqrt3}{2} だから ∣w2+12∣=32,w2≠α,β.\displaystyle \left|w_2+\frac12\right|=\frac{\sqrt3}{2},\qquad w_2\ne\alpha,\beta.

問2の円の中心を O1=32\displaystyle O_1=\frac32、半径を r1=12\displaystyle r_1=\frac12、問3の円の中心を O2=−12\displaystyle O_2=-\frac12、半径を r2=32\displaystyle r_2=\frac{\sqrt3}{2} とすると、∣O1−O2∣=2|O_1-O_2|=2。よって三角不等式から距離の最小値は 2−r1−r2=3−32,\displaystyle 2-r_1-r_2=\frac{3-\sqrt3}{2}, 最大側の上限は 2+r1+r2=5+32\displaystyle 2+r_1+r_2=\frac{5+\sqrt3}{2}。最小値は w1=1w_1=1 と w2=−12+32\displaystyle w_2=-\frac12+\frac{\sqrt3}{2} で実現する。最大側の等号には w1=2w_1=2 と w2=−12−32\displaystyle w_2=-\frac12-\frac{\sqrt3}{2} が必要だが、w1=2w_1=2 は問2の軌跡から除かれるので上限は実現しない。中間値もすべて実現することを確認する。 各許容組を角度で表すと、Q側はw1=2を除いた円周を一つの開区間で、R側はα,βを除いた右半円・左半円をそれぞれ開区間で表せる。各組合せでは二つの角度を途中で途切れずに動かせ、距離は連続に変わるから、中間値の定理により各場合の距離全体は区間になる。許される w2w_2 は円の右側の弧 Re⁡w2>−12\displaystyle \operatorname{Re}w_2>-\frac12 と左側の弧 Re⁡w2<−12\displaystyle \operatorname{Re}w_2<-\frac12 に分かれる。各弧上で距離は連続で、右側の弧から 3−32≦∣w1−w2∣<19+12\displaystyle \frac{3-\sqrt3}{2}\le |w_1-w_2|<\frac{\sqrt{19}+1}{2}、左側の弧から 19−12<∣w1−w2∣<5+32\displaystyle \frac{\sqrt{19}-1}{2}<|w_1-w_2|<\frac{5+\sqrt3}{2} の距離が得られる。これらの区間は重なるため、全体の値域は 3−32≦∣w1−w2∣<5+32.\displaystyle \boxed{\frac{3-\sqrt3}{2}\le |w_1-w_2|<\frac{5+\sqrt3}{2}}.

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