3北海道大学 2017年 数学 第3問解答・解説

三角形の外心を表す複素数を $z$ とする。外心は $O,A,B$ から等距離なので $$|z|=|z-\alpha|=|z-\beta|.$$ 三角形が存在するため $\alpha,\beta\ne0$ である。まず $|z|^2=|z-\alpha|^2$ と $z=\alpha\beta$ より $$2\operatorname{Re}(z\overline{\alpha})=|\alpha|^2,\qquad z\overline{\alpha}=|\alpha|^2\beta$$ だから $\displaystyle \operatorname{Re}\beta=\frac12$。同様に $|z|^2=|z-\beta|^2$ から $$2\operatorname{Re}(z\overline{\beta})=|\beta|^2,\qquad z\overline{\beta}=|\beta|^2\alpha$$ となり、$\displaystyle \operatorname{Re}\alpha=\frac12$ を得る。

逆に $\displaystyle \alpha=\frac12+iu,\ \beta=\frac12+iv$（$u,v\text{ は実数},\ u\ne v$）とすると、$O,A,B$ は非一直線上にある。$z=\alpha\beta$ とおけば $$2\operatorname{Re}(z\overline{\alpha})=2|\alpha|^2\operatorname{Re}\beta=|\alpha|^2,\qquad 2\operatorname{Re}(z\overline{\beta})=2|\beta|^2\operatorname{Re}\alpha=|\beta|^2,$$ ゆえに $|z|=|z-\alpha|=|z-\beta|$ であり、$z$ は確かに外心を表す。したがって (1) では、$\displaystyle \alpha=\frac12+iu$ に対し $v\ne u$ を選べばよく、A の軌跡は直線 $\displaystyle \operatorname{Re}\alpha=\frac12$ 全体となる。

次に $\displaystyle \alpha=\frac12+iu,\ \beta=\frac12+iv$ とおくと $$\displaystyle z=\alpha\beta=\frac14-uv+i\frac{u+v}{2}.$$ $z=x+iy$ と比べれば $\displaystyle u+v=2y,\ uv=\frac14-x$ である。$u,v$ は $$\displaystyle t^2-2yt+\left(\frac14-x\right)=0$$ の2根だから、$u,v$ が実数かつ異なるための必要十分条件は判別式が正であること、すなわち $$\displaystyle D=(-2y)^2-4\left(\frac14-x\right) =4\left(x+y^2-\frac14\right)>0.$$ 従って必要条件は $\displaystyle x+y^2>\frac14$。逆にこの不等式が成り立てば上の二次方程式は異なる2つの実数解 $u,v$ をもち、それらから作る $\alpha,\beta$ は $A\ne B$ を満たすので三角形ができ、$z=\alpha\beta$ がその外心となる。よってこの条件は十分でもある。

境界 $\displaystyle x=\frac14-y^2$ は $D=0$、すなわち $u=v$ に当たり $A=B$ となって三角形が退化するため含まない。したがって P の範囲は頂点 $\displaystyle (\frac14,0)$ をもつ左向きの放物線 $\displaystyle x=\frac14-y^2$ の右側である。

境界の放物線は含まない。

実線は全体を含む。右図は着色部で、破線の放物線を含まない。