2北海道大学 2017年 数学 第2問解答・解説

$f(x)=1+\sin x-x\cos x$ とする。

(1) 微分すると $$f'(x)=\cos x-(\cos x-x\sin x)=x\sin x.$$ $0<x<\pi$ では正、$\pi<x<2\pi$ では負だから、$f$ は $0\le x\le\pi$ で増加し $\pi\le x\le2\pi$ で減少する。値は $$f(0)=1,\quad f(\pi)=1+\pi,\quad f(2\pi)=1-2\pi.$$ 従って最大値は $1+\pi$（$x=\pi$）、最小値は $1-2\pi$（$x=2\pi$）。

(2) 部分積分により $$\displaystyle \int f(x)\,dx=x-\cos x-\int x\cos x\,dx=x-\cos x-(x\sin x+\cos x)+C =x-x\sin x-2\cos x+C.$$

(3) $f(0)>0$、$f(2\pi)<0$。また $0\le x\le\pi$ では増加して正であり、$\pi\le x\le2\pi$ では減少し、$f(3\pi/2)=0$ だからこの区間内の零点は $3\pi/2$ のみである。原始関数を $F(x)=x-x\sin x-2\cos x$ とすると、$F(0)=-2$、$F(3\pi/2)=3\pi$、$F(2\pi)=2\pi-2$。ゆえに $$\displaystyle \int_0^{2\pi}|f(x)|\,dx =\{F(3\pi/2)-F(0)\}+\{F(3\pi/2)-F(2\pi)\} =(3\pi+2)+(\pi+2)=4\pi+4.$$

導関数の符号で増減と極値を判定し、部分積分で原始関数を求めた。絶対値積分は零点で区間を分け、符号ごとに原始関数を評価した。