東京医科歯科大学 2017年数学第3問解答・解説

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1問題

東京医科歯科大学2017年度第3問

連続関数 $f(x)$ と定数 $a$ が次の関係式を満たしているとする。 $\displaystyle \int_0^x f(t)\,dt =4ax^3+(1-3a)x +\int_0^x\left\{\int_0^u f(t)\,dt\right\}du +\int_x^1\left\{\int_u^1 f(t)\,dt\right\}du$ このとき以下の各問いに答えよ。

(1) $a$ と $f(0)+f(1)$ の値を求めよ。

(2) $g(x)=e^{-2x}f(x)$ とおくとき， $g(x)$ の導関数 $g'(x)$ を求めよ。ここで $e$ は自然対数の底を表す。

(3) $f(x)$ を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

（1） $\quad a=-1\quad$ 、 $\quad f(0)+f(1)=-4\quad$ 。（2） $\quad g'(x)=-24xe^{-2x}\quad$ 。（3） $\displaystyle \quad f(x)=12x+6-\frac{28e^{2x}}{e^2+1}\quad$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) $\displaystyle F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$ , $\displaystyle J=\int_0^1F(u)\,du$ とおく。原式の $x=0$ から $F(1)-J=0$ 、 $x=1$ から $F(1)=a+1+J$ なので $a=-1$ 。原式を一度微分すると $f(x)=12ax^2+1-3a+2F(x)-F(1).$ 両端の値を加えれば $f(0)+f(1)=2+6a=\boxed{-4}$ を得る。

(2) 上式の右辺は微分可能なので $f$ も微分可能であり、 $f'(x)=24ax+2f(x)$ 。積の微分より $g'(x)=e^{-2x}(f'(x)-2f(x))=\boxed{-24xe^{-2x}}.$

(3) 部分積分により $g(x)=(12x+6)e^{-2x}+C$ 、従って $f(x)=12x+6+Ce^{2x}$ 。端点和から $24+C(1+e^2)=-4$ なので $\displaystyle \boxed{f(x)=12x+6-\frac{28e^{2x}}{e^2+1}}.$ 最後に元の積分式を満たすことを確認する。この式の積分は $F(x)=6x^2+6x+C(e^{2x}-1)/2$ であり、 $F(1)-J=C(e^2+1)/4+7=0$ 。原式の左辺から右辺を引いた関数を $R$ とすると、上の微分関係から $R''=0$ であり、直接計算で $R(0)=R'(0)=0$ 。よって $R(x)=0$ である。

この問題で使う考え方

積分式の微分
端点代入
部分積分

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