1東京医科歯科大学 2017年 数学 第1問解答・解説

各 $a_k,b_k,c_k$ は相異なる整数 $1,2,\ldots,3n+1$ の一つである。辺差を $$x_k=|a_k-a_{k+1}|,\qquad y_k=|a_k-c_k|,\qquad z_k=|a_k-b_k|$$ とおく。条件(C1)により差は互いに異なる。各差は正整数で、最大値は $3n$ 以下だから、 $$\{x_k,y_k,z_k:1\le k\le n\}=\{1,2,\ldots,3n\}.$$ 条件(C2)から各行で $z_k>y_k>x_k$ である。

(1) $n=1,a_1=1$ では差が $1,2,3$ であり、大小関係から $z_1=3,y_1=2,x_1=1$。従って $b_1=4,c_1=3,a_2=2$。

以下、まず $a_1=1$ の場合を考える。未使用ラベルが $L$ 以上 $U$ 以下の整数全体であり、$a_k=L-1$ または $a_k=U+1$ である段階を考える。$M=U-L+1$ とおくと、未使用差の最大値は $M$ である。一方、後続の行の辺は両端とも $L$ 以上 $U$ 以下であるため、その差は高々 $U-L=M-1$。従って差 $M$ は行 $k$ の辺の一つでなければならず、$z_k>y_k>x_k$ より $z_k=M$ である。

$a_k=L-1$ のときは $b_k=U$。この端点を除くと後続辺の差は高々 $M-2$ になるので、次の大きさ $M-1$ は $y_k$ であり、$c_k=U-1$。さらに $M-2$ は $x_k$ で、$a_{k+1}=U-2$。こうして未使用ラベルは $L$ 以上 $U-3$ 以下の整数全体となり、次の $a_{k+1}$ は区間上端の一つ外側にある。$a_k=U+1$ の場合も左右を逆にすれば同じ議論になり、$b_k=L,c_k=L+1,a_{k+1}=L+2$ となる。最初は $a_1=1$、未使用ラベルは $2$ 以上 $3n+1$ 以下の整数全体 なので、この二つの段階が交互に続く。

従って、奇数添字 $k=2m+1$ では $$\begin{aligned} a_{2m+1}&=3m+1,\\ b_{2m+1}&=3n+1-3m,\\ c_{2m+1}&=3n-3m. \end{aligned}$$ 偶数添字 $k=2m$ では $$\begin{aligned} a_{2m}&=3n+2-3m,\\ b_{2m}&=3m-1,\\ c_{2m}&=3m. \end{aligned}$$

(2) $n=2,a_1=1$ の式から $(a_2,a_3,b_1,b_2,c_1,c_2)=(5,4,7,2,6,3)$。写像 $v\mapsto8-v$ はラベル集合 $\{1,\ldots,7\}$ を保ち、全ての絶対差も保つ。これを $a_1=7$ の列に施すと先頭が1になるため、逆写像を上の値に適用して $$(a_2,a_3,b_1,b_2,c_1,c_2)=(3,4,1,6,2,5).$$

(3) $n\ge2,a_1=1$ の奇数添字式に $m=1$ を入れると $a_3=4$。

(4) $29=2\cdot14+1$ なので、奇数添字式に $m=14,n=2017$ を代入し、 $$(a_{29},b_{29},c_{29})=(43,6010,6009).$$