4九州大学 2017年 数学 第4問解答・解説

赤玉を引いた時点で勝者が決まるので、次の回に進むのは青玉または白玉を引いた場合であり、それぞれの確率は $1/4$ である。白玉を引いた人の左隣りは、図の着席順に従って時計回りに次の人である。したがって、各回にその人が玉を取り出す確率について $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n+c_n}{4},\qquad b_{n+1}=\frac{b_n+a_n}{4},\qquad c_{n+1}=\frac{c_n+b_n}{4}.\tag{1}$$ が成り立つ。

(1) 初期条件から、$a_2=b_2=1/4,\ c_2=0$ であり、さらに (1) より $$\displaystyle a_3=\frac1{16},\quad b_3=\frac18,\quad c_3=\frac1{16},\quad a_4=\frac{a_3+c_3}{4}=\frac1{32}.$$ A が4回目に勝つ確率は、4回目にAが取り出す確率に赤玉を引く確率 $1/2$ を掛けて $1/64$ である。

後で導く関係 $a_{n+3}=(3d_n-a_n)/64$ を $n=4$ に適用する。$d_4=1/8$ だから $$\displaystyle a_7=\frac{3d_4-a_4}{64}=\frac{3/8-1/32}{64}=\frac{11}{2048}.$$ よって、Aが7回目に勝つ確率は $a_7/2=11/4096$ である。

(2) (1) の3式を加えると $$\displaystyle d_{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}+c_{n+1}=\frac12(a_n+b_n+c_n)=\frac12d_n.$$ $d_1=1$ なので、等比数列として $d_n=(1/2)^{n-1}$ である。

(3) (1) を2回用いると $$\displaystyle a_{n+2}=\frac{a_n+b_n+2c_n}{16},\qquad c_{n+2}=\frac{a_n+2b_n+c_n}{16}.$$ したがって $$\displaystyle a_{n+3}=\frac{a_{n+2}+c_{n+2}}4=\frac{2a_n+3b_n+3c_n}{64}=\frac{3d_n-a_n}{64}.$$ ここで $n$ を $n-2$ に置き換えると、$n\geq3$ に対して $$\displaystyle a_{n+1}=\frac{3d_{n-2}-a_{n-2}}{64}=\frac{3}{2^{n+3}}-\frac{a_{n-2}}{64}.$$

最後に、経路数でも (1) の結果を確かめる。4回目まで勝者が決まらない3回の色は青または白であり、Aに戻るには白が0個または3個であるから、$\displaystyle a_4=(\binom30+\binom33)/4^3=1/32$。7回目については、白が0個、3個、6個の場合なので、$\displaystyle a_7=(\binom60+\binom63+\binom66)/4^6=22/4096=11/2048$。いずれも上の値と一致する。