1九州大学 2017年 数学 第1問解答・解説

定数 $a>0$ に対し，$\displaystyle C_1:\ y=a\tan x\ \left(0\le x<\dfrac{\pi}{2}\right)$，$\displaystyle C_2:\ y=\sin2x\ \left(0\le x<\dfrac{\pi}{2}\right)$ とする。

(1)　 $C_1$ と $C_2$ の交点の $x$ 座標は、方程式 $a\tan x=\sin2x$ の解のうち、$\displaystyle 0\le x<\dfrac{\pi}{2}$ を満たすものである。$x=0$ では両辺とも $0$ となり，これは原点における交点である。原点以外の交点，すなわち $\displaystyle 0<x<\dfrac{\pi}{2}$ における解を考える。

この範囲では $\sin x\neq0,\ \cos x\neq0$ であるから， $$\displaystyle a\tan x=\sin2x=2\sin x\cos x \text{、すなわち } a\,\frac{\sin x}{\cos x}=2\sin x\cos x \text{、すなわち } a=2\cos^2x$$ （両辺を $\sin x\ (\neq0)$ で割った）。

$\displaystyle 0<x<\dfrac{\pi}{2}$ では、$x$ が大きくなると $\cos x$ は必ず小さくなり、$1$ から $0$ に近づく。したがって $\cos^2x$ は減少しながら、$0<\cos^2x<1$ のすべての値を一度ずつとる。したがって，$\displaystyle 0<x<\dfrac{\pi}{2}$ の範囲に方程式 $a=2\cos^2x$ の解がただ一つ存在するための条件は $$0<a<2$$ である（$a\ge2$ なら $\displaystyle \cos^2x=\dfrac{a}{2}\ge1$ となる $x$ は存在しない）。

以上より，$C_1$ と $C_2$ が原点以外に交点をもつための $a$ の条件は $$\boxed{0<a<2}$$ である。

(2)　 以後，$a$ は (1) の条件 $0<a<2$ を満たすとし，交点 $P$ の $x$ 座標を $p$（$\displaystyle 0<p<\dfrac{\pi}{2}$）とする。(1) の計算より $$\displaystyle \cos^2p=\frac{a}{2}\qquad(\star)$$ が成り立つ。

$C_1:\ y=a\tan x$ の導関数は $\displaystyle y'=a\sec^2x=\dfrac{a}{\cos^2x}$ であるから，$P$ における $C_1$ の接線の傾き $m_1$ は，$(\star)$ を用いて $$\displaystyle m_1=\frac{a}{\cos^2p}=\frac{a}{a/2}=2$$ となる。（$0<a<2$ を満たす任意の $a$ に対して，交点 $P$ における $C_1$ の接線の傾きは常に $2$ になることに注意する。）

$C_2:\ y=\sin2x$ の導関数は $y'=2\cos2x$ であるから，$P$ における $C_2$ の接線の傾き $m_2$ は $$m_2=2\cos2p$$ である。

二接線が直交する条件は $m_1m_2=-1$ であるから $$\displaystyle 2\cdot(2\cos2p)=-1\text{、すなわち } \cos2p=-\frac14 .$$

一方，二倍角の公式と $(\star)$ より $$\displaystyle \cos2p=2\cos^2p-1=2\cdot\frac{a}{2}-1=a-1 .$$

両者を合わせて $$\displaystyle a-1=-\frac14\text{、すなわち } a=\frac34 .$$

$\displaystyle a=\dfrac34$ は $0<a<2$ を満たすので (1) の条件と矛盾しない。

以上より $$\displaystyle \boxed{a=\frac34,\qquad \cos2p=-\frac14}$$ である。

(3)　 $\displaystyle a=\dfrac34$ のとき，$(\star)$ より $\displaystyle \cos^2p=\dfrac{a}{2}=\dfrac38$。$\displaystyle 0<p<\dfrac{\pi}{2}$ より $\cos p>0$ だから $$\displaystyle \cos p=\sqrt{\frac38}=\frac{\sqrt6}{4}.$$

$C_1,C_2$ で囲まれた図形は，共通点 $x=0$（原点）と $x=p$ を境界とする$0\le x\le p$ の範囲で，二曲線の上下関係が一定であるような有界領域である。$\displaystyle 0<x<\dfrac{\pi}{2}$ 上で差 $$\displaystyle g(x)=\sin2x-a\tan x=2\sin x\cos x-\frac{a\sin x}{\cos x}=\frac{\sin x\,(2\cos^2x-a)}{\cos x}$$ を考えると，この範囲で $\sin x>0,\ \cos x>0$ だから，$g(x)$ の符号は $2\cos^2x-a$ の符号と一致する。$2\cos^2x-a$ は $x$ が大きくなると必ず小さくなり，$x=0$ では $2-a>0$（$a<2$ より），$x=p$ では $(\star)$ より $2\cos^2p-a=a-a=0$ である。ゆえに $$g(x)>0\quad(0<x<p),\qquad g(p)=0$$ となり，$0<x<p$ の範囲 では常に $C_2$ が $C_1$ の上側にある。したがって求める面積 $S$ は $$\displaystyle S=\int_0^p\bigl(\sin2x-a\tan x\bigr)\,dx .$$

$\displaystyle\int\sin2x\,dx=-\frac12\cos2x+C$，および $\displaystyle 0\le x<p<\dfrac{\pi}{2}$ で $\cos x>0$ より絶対値記号ははずれて $\displaystyle\int\tan x\,dx=-\ln\cos x+C$ であるから， $$\displaystyle S=\left[-\frac12\cos2x+a\ln\cos x\right]_0^p =\left(-\frac12\cos2p+a\ln\cos p\right)-\left(-\frac12\cos0+a\ln\cos0\right).$$

$\cos0=1$ より $\ln\cos0=0$ であるから，第二項は $\displaystyle -\dfrac12$。$\displaystyle \cos2p=-\dfrac14,\ a=\dfrac34,\ \cos p=\sqrt{\dfrac38}$ を代入して， $$\displaystyle S=\left(\frac18+\frac34\ln\sqrt{\frac38}\right)+\frac12 =\frac58+\frac34\cdot\frac12\ln\frac38 =\frac58+\frac38\ln\frac38 .$$

$\displaystyle \ln\dfrac38=-\ln\dfrac83$ であるから，最終的に $$\displaystyle \boxed{S=\frac58-\frac38\ln\frac83}$$ を得る（数値としては $\displaystyle \ln\dfrac83\approx0.9808$ より $S\approx0.257$）。

検算　 $a=3/4,\ \cos p=\sqrt{3/8}\approx0.6124,\ p\approx0.9117$ に対し，$a\tan p\approx0.9683$，$\sin2p\approx0.9683$ で一致し交点条件を満たす。また $m_1=2,\ m_2=2\cos2p=-0.5$ で $m_1m_2=-1$ となり直交条件も満たす。面積の値 $S\approx0.257$ は，$0<x<p$ の範囲（$p\approx0.91$）における二曲線の差の最大値がおよそ $0.4$ 程度であることと比べても妥当な大きさである。