2九州大学 2017年 数学 第2問解答・解説

点 $\mathrm{A}(a,0,0)$，$\mathrm{B}(0,b,0)$，$\mathrm{C}(0,0,1)$，$\mathrm{D}(a,b,1)$（$a>0$，$b>0$）とする。直線 $\mathrm{CD}$ 上の点は $$\vec{d}=\overrightarrow{\mathrm{CD}}=(a,\,b,\,0)$$ を方向ベクトルとして，実数 $t$ を用いて $$\mathrm{P}(t)=\mathrm{C}+t\,\vec{d}=(ta,\,tb,\,1)$$ と媒介変数表示できる（$t=0$ で $\mathrm{C}$，$t=1$ で $\mathrm{D}$）。

(1) 点 $\mathrm{A}$ から下ろした垂線の足を $\mathrm{G}=\mathrm{P}(t)$ とすると，条件は $$\overrightarrow{\mathrm{AG}}\cdot\vec{d}=0.$$ $$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\mathrm{G}-\mathrm{A}=(ta-a,\ tb,\ 1)=(a(t-1),\ bt,\ 1)$$ であるから $$\overrightarrow{\mathrm{AG}}\cdot\vec{d}=a\cdot a(t-1)+b\cdot bt+0\cdot 1=(a^{2}+b^{2})t-a^{2}=0.$$ $a^{2}+b^{2}>0$ なので $$\displaystyle t=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}.$$ $a>0,\ b>0$ より $0<t<1$ となり，たしかに $\mathrm{G}$ は線分 $\mathrm{CD}$ 上にある（垂線の足が線分内に落ちることを確認）。よって $$\displaystyle \mathrm{G}=\left(\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}},\ \frac{a^{2}b}{a^{2}+b^{2}},\ 1\right).$$

(2) 同様に，点 $\mathrm{B}$ から下ろした垂線の足を $\mathrm{H}=\mathrm{P}(s)$ とすると， $$\overrightarrow{\mathrm{BH}}=(sa,\ sb-b,\ 1)=(sa,\ b(s-1),\ 1),$$ $$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BH}}\cdot\vec{d}=a^{2}s+b^{2}(s-1)=(a^{2}+b^{2})s-b^{2}=0 \ \text{したがって}\ 0<s=\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}<1.$$ よって $$\displaystyle \mathrm{H}=\left(\frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}},\ \frac{b^{3}}{a^{2}+b^{2}},\ 1\right).$$

以下 $\displaystyle k=\dfrac{1}{a^{2}+b^{2}}$ とおく。(1)の結果から $$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=\mathrm{G}-\mathrm{A}=\left(-ab^{2}k,\ a^{2}bk,\ 1\right),$$ $$\overrightarrow{\mathrm{BH}}=\mathrm{H}-\mathrm{B}=\left(ab^{2}k,\ -a^{2}bk,\ 1\right).$$ （$x,y$ 成分が互いに符号違いで，$z$ 成分がともに $1$ である点に注意する。）

この内積は $$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AG}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BH}} =(-ab^{2}k)(ab^{2}k)+(a^{2}bk)(-a^{2}bk)+1\cdot1 =-a^{2}b^{2}k^{2}(a^{2}+b^{2})+1 =-a^{2}b^{2}k+1 =\frac{a^{2}+b^{2}-a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.$$ （$k^{2}(a^{2}+b^{2})=k$ を用いた。）

また，どちらのベクトルも $x,y$ 成分の絶対値の組が同じなので大きさは等しく， $$\displaystyle |\overrightarrow{\mathrm{AG}}|^{2}=|\overrightarrow{\mathrm{BH}}|^{2} =(ab^{2}k)^{2}+(a^{2}bk)^{2}+1^{2} =a^{2}b^{2}k^{2}(a^{2}+b^{2})+1 =a^{2}b^{2}k+1 =\frac{a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.$$ a,bは正なのでこの値も正であり $\overrightarrow{\mathrm{AG}},\overrightarrow{\mathrm{BH}}$ はいずれも零ベクトルでなく，なす角 $\theta$ が定まる。したがって $$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{AG}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BH}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AG}}|\,|\overrightarrow{\mathrm{BH}}|} =\frac{\dfrac{a^{2}+b^{2}-a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}{\dfrac{a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}}{a^{2}+b^{2}}} =\frac{a^{2}+b^{2}-a^{2}b^{2}}{a^{2}+b^{2}+a^{2}b^{2}}.$$

検算. $a=b=1$ のとき，直接座標計算では $\displaystyle \mathrm{G}=\mathrm{H}=\left(\tfrac12,\tfrac12,1\right)$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AG}}=(-\tfrac12,\tfrac12,1)$，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BH}}=(\tfrac12,-\tfrac12,1)$ となり，内積 $\displaystyle =\tfrac12$，各ノルムの2乗 $\displaystyle =\tfrac32$ より $\displaystyle \cos\theta=\dfrac{1/2}{3/2}=\dfrac13$。上の公式に $a=b=1$ を代入すると $\displaystyle \dfrac{1+1-1}{1+1+1}=\dfrac13$ となり一致する。さらに $a=1,\ b=2$ でも同様に直接計算すると $\displaystyle \cos\theta=\dfrac19$ となり，公式 $\displaystyle \dfrac{1+4-4}{1+4+4}=\dfrac19$ と一致することを確認した。