5九州大学 2017年 数学 第5問解答・解説

(1) $|\alpha|=10000\sqrt2,\ \arg\alpha=\pi/4$ であり、$|w|=1/2,\ \arg w=\pi/6$。従って $$\displaystyle |z_n|=\frac{10000\sqrt2}{2^n},\qquad \arg z_n\equiv\frac\pi4+\frac{n\pi}6\pmod{2\pi}.$$

(2) $|z_n|\le1$ は $n\ge\log_2(10000\sqrt2)=4/0.301+1/2=13.79\ldots$ と同値なので、最小の自然数は $14$。

(3) $OA=OB$ と $CA=CB$ より $O,C$ はともに $AB$ の垂直二等分線上にある。従って $AB$ は水平で、$A=(-s,t),B=(s,t)$ とおける。$c=1/\sqrt2$ とする。$s^2+t^2=1$ であり、直角二等辺三角形なので $AC^2=AB^2/2=2s^2$。従って $c-t=s$。これらから $$\displaystyle s^2+(c-s)^2=1\quad\text{ならば}\quad s=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4},\quad t=\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}.$$ 辺の直線は $AB:y=t$、$AC:y=x+c$、$BC:y=-x+c$。三角形内部では $$y>t,\qquad y<x+c,\qquad y<-x+c.$$ 三角形の各頂点の原点からの距離は $1,1,1/\sqrt2$ 以下であり、三角形全体は単位円板に含まれる。 与えられた常用対数から $$\log_{10}|z_{14}|=4+0.1505-4.214=-0.0635<0,$$ $$\log_{10}(\sqrt3|z_{14}|)=4+0.389-4.214=0.175>0.$$ よって $1/\sqrt3<|z_{14}|<1$。従って $n\le13$ では $|z_n|\ge2|z_{14}|>2/\sqrt3>1$ で、三角形外。 $n=14$ では $\arg z_{14}=7\pi/12$。この半直線上で $$\displaystyle y-x=\frac{\sqrt6}{2}|z_{14}|>\frac1{\sqrt2},$$ よって辺 $AC:y-x=1/\sqrt2$ の外側にあり、三角形外。 $n=15$ では $\arg z_{15}=3\pi/4$、$|z_{15}|=|z_{14}|/2<1/2$。座標は $(-r/\sqrt2,r/\sqrt2)$（$r=|z_{15}|$）なので $y>0>t$、$y-x=\sqrt2r<1/\sqrt2$、$y+x=0<1/\sqrt2$。三辺の内部条件をすべて満たす。従って最小の $n$ は $15$。