3九州大学 2017年 数学 第3問解答・解説

第3問 一般項は $$a_k=1+4(k-1)=4k-3\qquad(k=1,2,3,\ldots)$$ である。

(1) $7\mid a_k$ は $4k\equiv3\pmod 7$ と同値である。$4\cdot2\equiv1\pmod 7$ より $k\equiv6\pmod 7$。該当する番号は $$6,13,\ldots,594$$ なので、個数は $$\displaystyle \frac{594-6}{7}+1=\boxed{85}.$$

(2) $49\mid a_k$ は $4k\equiv3\pmod{49}$ と同値である。$4\cdot37=3\cdot49+1$ だから $k\equiv3\cdot37\equiv13\pmod{49}$。該当する番号は $$13,62,\ldots,552$$ なので、個数は $$\displaystyle \frac{552-13}{49}+1=\boxed{12}.$$

(3) 積 $a_1a_2\cdots a_n$ に含まれる7の因子の個数を考える。各項が7で割り切れれば1個、49で割り切れればさらに1個、343で割り切れればさらに1個と数える。このように、$7^j$ で割り切れる項を各 $j$ について1回ずつ数えれば、積に含まれる7の因子の総数になる。

まず $$7\mid a_k\text{、すなわち } k\equiv6\pmod7,\qquad 49\mid a_k\text{、すなわち } k\equiv13\pmod{49}.$$ さらに $k=13+49s$ とおくと $$a_k=4(13+49s)-3=49(1+4s).$$ 従って $343\mid a_k$ は $s\equiv5\pmod7$ と同値であり、 $$343\mid a_k\text{、すなわち } k\equiv258\pmod{343}.$$ また $k=258+343s$ とおくと $$a_k=343(3+4s).$$ $2401\mid a_k$ には $s\equiv1\pmod7$ が必要なので、その最小の正の番号は $k=601$ である。よって $n\le265$ では $7^4$ 以上の因子を含む項はない。

第258項まででは、7の倍数である項が $6,13,\ldots,258$ の37個、49の倍数である項が $13,62,\ldots,258$ の6個、343の倍数である項が $258$ の1個である。従って含まれる7の因子は $$37+6+1=44\text{個}.$$ 第259項から第264項には新たな7の倍数がないため、ここまで総数は44個のままである。第265項は $$a_{265}=1057=7\cdot151$$ で、$151=7\cdot21+4$ より49では割り切れないので、7の因子が1個増えて総数は45個になる。従って積が $7^{45}$ の倍数になる最小の自然数は $$\boxed{n=265}.$$