1群馬大学 2003年 数学 第1問解答・解説

(1) 等差数列の一般項より $$a_3=a+2d=8,\qquad a_{10}=a+9d=29.$$ 差をとると $7d=21$ なので $d=3$、したがって $a=8-2d=2$ である。

(2) 一般項は $a_k=2+3(k-1)=3k-1$ だから、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}2^{a_k}=\sum\limits _{k=1}^{n}2^{2+3(k-1)} =4\sum\limits _{j=0}^{n-1}8^j =\frac{4(8^n-1)}{7}.$$

(3) $a_k=3k-1\le200$ より $k\le67$。また $3k-1$ が偶数となるのは $k$ が奇数のときである。該当項は $a_1,a_3,\ldots,a_{67}$ で、初項 $2$、末項 $200$、項数 $34$ の等差数列である。よって和は $$\displaystyle \frac{34(2+200)}{2}=3434.$$

等差数列の一般項を求め、指数和を等比数列の和として処理する。最後は偶数項の添字を判定して等差数列の和を計算する。