5群馬大学 2003年 数学 第5問解答・解説

（1）$-1<x<1$ では $1-x,1+x>0$ なので、$$\displaystyle f(x)=\log(1-x)-\log(1+x),\qquad f'(x)=-\frac1{1-x}-\frac1{1+x}=-\frac{2}{1-x^2}.$$ （2）$g(x)=f(x)+2x$ とおく。$g(0)=0$ であり、$0<x<1$ では$$\displaystyle g'(x)=-\frac{2}{1-x^2}+2=-\frac{2x^2}{1-x^2}<0.$$ したがって $g$ は $0\le x<1$ の範囲で減少するから、$0<x<1$ で $g(x)<g(0)=0$。よって $f(x)<-2x$。 （3）部分積分を用いると$$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^a f(x)\,dx-af(a)&=-\int_0^a xf'(x)\,dx\\ &=\int_0^a\frac{2x}{1-x^2}\,dx\\ &=\left[-\log(1-x^2)\right]_0^a=-\log(1-a^2). \end{aligned}$$ $a=1/\sqrt2$ より、求める値は $\boxed{\log2}$。