4群馬大学 2003年 数学 第4問解答・解説

$C:y=2/x$ とする。(1) $y\ge 2/x>0$ の領域を動く点 $P(x,y)$ に対し、$2x^2+y^2$ の最小値を求める。(2) $A(0,2\sqrt6)$ を通る傾きが正の直線と $C$ の交点を $P,Q$ とするとき、$PQ$ の最小値を求める。

(1) 最小値 領域条件 $2/x>0$ より $x>0$ である。また $y\ge 2/x>0$ なので、$x$ を固定すると $2x^2+y^2$ は $y$ が最小のとき最小になり、そのとき $y=2/x$ である。したがって $$\displaystyle 2x^2+y^2 \ge 2x^2+\frac{4}{x^2}.$$ 正数 $2x^2$ と $4/x^2$ に相加相乗平均を用いると $$\displaystyle 2x^2+\frac4{x^2}\ge 2\sqrt{2x^2\cdot\frac4{x^2}}=4\sqrt2.$$ 等号条件 $2x^2=4/x^2$ は $x^4=2$、すなわち $x=2^{1/4}$ を与える。このとき境界上で $y=2/x=2^{3/4}$ であり、領域内で等号が成立する。よって最小値は $\boxed{4\sqrt2}$。

(2) 線分の長さ 直線の傾きを $k>0$ とおくと、その方程式は $y=kx+2\sqrt6$ である。双曲線との交点の $x$ 座標は $$\displaystyle kx+2\sqrt6=\frac2x \quad\text{すなわち}\quad kx^2+2\sqrt6 x-2=0.$$ 判別式は $24+8k>0$ なので交点は異なる2点である。2解の差の絶対値は $\sqrt{24+8k}/k$。交点は同じ傾き $k$ の直線上にあるから、座標差を $\Delta x,\Delta y$ とすると $|\Delta y|=k|\Delta x|$ であり、 $$\displaystyle PQ^2=(\Delta x)^2+(\Delta y)^2 =\frac{24+8k}{k^2}(1+k^2) =8\left(k+3+\frac1k+\frac3{k^2}\right).$$ $k>0$ で微分すると $$\displaystyle \frac{d}{dk}PQ^2 =8\left(1-\frac1{k^2}-\frac6{k^3}\right) =8\frac{(k-2)(k^2+2k+3)}{k^3}.$$ ここで $k^2+2k+3=(k+1)^2+2>0$。よって $0<k<2$ では減少し、$k>2$ では増加するため、最小は $k=2$ で生じる。端では $k\to0^+$ と $k\to\infty$ のいずれでも $PQ^2\to\infty$ であり、これが全体の最小である。 $$\displaystyle PQ^2\big|_{k=2}=8\left(2+3+\frac12+\frac34\right)=50, \qquad PQ_{\min}=\boxed{5\sqrt2}.$$

分類 単元：双曲線、相加相乗平均、二次方程式、微分による最大・最小。　 方法：領域条件から境界へ還元し、傾きを変数として距離の二乗を最小化。　 テーマ：幾何条件を一変数の不等式・関数に置き換える。 採用答案との照合 割当済みの forward_result_ref.json と backward_result_ref.json はいずれも (1) $4\sqrt2$、(2) $5\sqrt2$ を示す。両方の計算を検算し、等号条件と交点の存在を含めて正しいことを確認した。数学判定は APPROVED。

判定・ラベル 数学：APPROVED（高校範囲）。出典：印刷ページ4の「医 4」表示とSHA一致する群馬大学2003年「医／医 前期」取得記録により医学部向け問題として確認。PDFは見本透かし付き複製である点を記録する。実際の解答モデル情報：UNVERIFIED。

単元：数学II（図形と方程式・いろいろな式）、数学III（微分法）。方法：境界での最小化、相加相乗平均、二次方程式の判別式と解差、座標距離、導関数の符号による最小値判定。テーマ：直線と双曲線の弦長最小化および領域内の二次式最小化。