2鹿児島大学 2009年 数学 第2問解答・解説

(1) 放物線上の点で直線の左辺を表すと、$$4x-3y=4x-3(-x^2+6x-5)=3x^2-14x+15$$ となる。したがって、直線と放物線の交点の $x$ 座標は、$$3x^2-14x+15-a=0$$ の解である。接するときはこの二次方程式が重解をもつから、判別式を $0$ とおくと、$$(-14)^2-4\cdot3(15-a)=0,\qquad 16+12a=0.$$ よって $\displaystyle a=-\frac{4}{3}$ であり、重解は $\displaystyle x=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$ である。このとき$$\displaystyle y=-\left(\frac{7}{3}\right)^2+6\cdot\frac{7}{3}-5=\frac{32}{9}.$$ よって接点は $\displaystyle \left(\frac{7}{3},\frac{32}{9}\right)$ である。実際、$\displaystyle 4\cdot\frac{7}{3}-3\cdot\frac{32}{9}=-\frac{4}{3}$ となり、求めた $a$ と一致する。

(2) 領域内では $y\le -x^2+6x-5$ なので、$$\displaystyle 4x-3y\ge 4x-3(-x^2+6x-5)=3x^2-14x+15=3\left(x-\frac{7}{3}\right)^2-\frac{4}{3}\ge -\frac{4}{3}.$$ 等号は $\displaystyle x=\frac{7}{3}$ かつ $\displaystyle y=-x^2+6x-5=\frac{32}{9}$ のときに成り立つ。この点は$$\displaystyle x^2+y^2=\frac{49}{9}+\frac{1024}{81}=\frac{1465}{81}<25$$ を満たすので領域内にある。したがって最小値は $\displaystyle -\frac{4}{3}$ である。

また、恒等式$$25(x^2+y^2)-(4x-3y)^2=(3x+4y)^2\ge0$$ と $x^2+y^2\le25$ より、$$(4x-3y)^2\le25(x^2+y^2)\le625,$$ したがって $4x-3y\le25$ である。点 $(4,-3)$ は $4^2+(-3)^2=25$ かつ $-3\le -4^2+6\cdot4-5=3$ を満たして領域内にあり、そこで $4x-3y=25$ となる。よって最大値は $25$ である。