18自治医科大学 2007年 数学 第18問解答・解説

直線の式から $y=2x+a$ と表せる。これを円の式に代入すると $$x^2+(2x+a)^2+2x-4(2x+a)=0,$$ すなわち $$5x^2+(4a-6)x+a^2-4a=0$$ となる。固定した $a$ に対して、この二次方程式が実数解をもつことと、円と直線が共有点をもつことは同値である。

判別式を $D$ とすると $$\begin{aligned} D&=(4a-6)^2-4\cdot5(a^2-4a)\\ &=4(9-a)(a+1). \end{aligned}$$ よって共有点をもつ条件は $$D\geq0\quad\text{すなわち}\quad(9-a)(a+1)\geq0 \quad\text{すなわち}\quad -1\leq a\leq9.$$ 判別式が $0$ の端点も共有点をもつ。実際、$a=-1$ のとき二次方程式は $5(x-1)^2=0$ となり共有点は $(1,1)$、$a=9$ のとき $5(x+3)^2=0$ となり共有点は $(-3,3)$ である。

したがって、共有点をもつ $a$ の範囲 (b$\leq$ a$\leq$ c) は $b=-1,\ c=9$ であり、 $$|bc|=|(-1)\cdot9|=9.$$ 選択肢はワである。