16自治医科大学 2007年 数学 第16問解答・解説

三角形 $ABC$ の面積は $24$ である。$\displaystyle x=\dfrac{BP}{AB}$ とおくと、$P$ は辺 $AB$ 上にあるから $0\le x\le 1$ である。$Q$ は $BP$ の中点なので $\displaystyle BQ=\dfrac{BP}{2}$ であり、 $$\displaystyle \frac{AP}{AB}=1-x,\qquad \frac{AQ}{AB}=1-\frac{x}{2}$$ となる。

$PS$、$QR$、$BC$ は互いに平行だから、$\triangle APS$ と $\triangle ABC$、また $\triangle AQR$ と $\triangle ABC$ はそれぞれ相似である。相似比が $k$ のとき、対応する底辺と高さがともに $k$ 倍されるため、面積比は $k^2$ となる。よって $$\displaystyle [APS]=24(1-x)^2,\qquad [AQR]=24\left(1-\frac{x}{2}\right)^2$$ である。ここで $[XYZ]$ は三角形 $XYZ$ の面積を表す。$P,Q$ の順に対応する交点は $S,R$ の順に並ぶので、四角形 $PQRS$ は大きい三角形 $AQR$ から小さい三角形 $APS$ を除いた部分である。したがって、その面積を $T$ とすると $$\displaystyle \begin{aligned} T&=24\left\{\left(1-\frac{x}{2}\right)^2-(1-x)^2\right\}\\ &=24\left(x-\frac{3}{4}x^2\right)=24x-18x^2\\ &=8-18\left(x-\frac{2}{3}\right)^2. \end{aligned}$$ 平方は0以上なので $T\le 8$ であり、等号は $\displaystyle x=\dfrac{2}{3}$ のとき成立する。この値は $0\le x\le1$ を満たすため実際に達成できる。よって、四角形 $PQRS$ の面積の最大値は $8$（選択肢ラ）である。