20自治医科大学 2007年 数学 第20問解答・解説

交点を $(x,y)$ とする。第1式に $a$、第2式に $b$ を掛けて加えると、

$$a(ax+by)+b(bx-ay)=6a-8b, \qquad (a^2+b^2)x=6a-8b.$$ 条件 $a^2+b^2=4$ より、$$\displaystyle x=\frac{6a-8b}{4}=\frac{3a-4b}{2}.$$

第1式に $b$、第2式に $-a$ を掛けて加えると、$$b(ax+by)-a(bx-ay)=6b+8a, \qquad (a^2+b^2)y=6b+8a,$$ したがって、$$\displaystyle y=\frac{6b+8a}{4}=\frac{4a+3b}{2}.$$ これらの座標は元の2式に代入するとそれぞれ $3(a^2+b^2)/2=6$、$-2(a^2+b^2)=-8$ を与えるので、確かに交点である。

よって交点について、$$\displaystyle x^2+y^2=\frac{(3a-4b)^2+(4a+3b)^2}{4}=\frac{25(a^2+b^2)}{4}=25.$$ したがって軌跡は円 $x^2+y^2=25$ 上にある。さらに、円周上の任意の $(x,y)$ に対して $$\displaystyle a=\frac{2(3x+4y)}{25},\qquad b=\frac{2(-4x+3y)}{25}$$ とおけば、$a^2+b^2=4(x^2+y^2)/25=4$ であり、$ax+by=6$、$bx-ay=-8$ となる。したがってこの円周上の全ての点が交点として現れる。円の中心は原点なので、半径は $5$ である。