1熊本大学 2009年 数学 第1問解答・解説

写像を $T(X,Y)=(X+2Y,-2X+Y)$ とし、$s=t-1$ とおく。 直線$\ell$上の点を $Q(u)=(u,1+su)$ ($u$ は実数) と表せる。これを行列で移すと $$T(Q(u))=\bigl(2+(1+2s)u,\ 1+(s-2)u\bigr).$$ 方向ベクトル $(1+2s,s-2)$ はどの実数sでも零ベクトルではないので、像は直線 m である。交点 $P(x,y)$ では像の座標も$\ell$上の条件 $y=1+sx$ を満たすから、 $$1+(s-2)u=1+s\bigl(2+(1+2s)u\bigr) \quad\text{すなわち}\quad -2(1+s^2)u=2s.$$ ここで $1+s^2>0$ なので $\displaystyle u=-\frac{s}{1+s^2}$ と一意に決まる。よって $$\displaystyle \begin{aligned} x&=2+(1+2s)u=\frac{2-s}{1+s^2}=\frac{3-t}{1+(t-1)^2},\\ y&=1+(s-2)u=\frac{1+2s}{1+s^2}=\frac{2t-1}{1+(t-1)^2}. \end{aligned}$$ したがって問1の答えは上の x,y である。

問2では、 $$\displaystyle x^2+y^2=\frac{(2-s)^2+(1+2s)^2}{(1+s^2)^2}=\frac5{1+s^2},\qquad 2x+y=\frac{2(2-s)+(1+2s)}{1+s^2}=\frac5{1+s^2}.$$ ゆえに $x^2+y^2=2x+y$ であり、平方完成すると $$\displaystyle (x-1)^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac54.$$ よって、実数$t$が動くとき P は中心 $\displaystyle \left(1,\frac12\right)$、半径 $\displaystyle \frac{\sqrt5}{2}$ の円周上にある。