3熊本大学 2009年 数学 第3問解答・解説

大小の異なる2個のサイコロの出目をそれぞれ $p,q$ とする。2個は区別できるので、$1\le p,q\le6$ の36通りが同様に確からしい。 交点の $x$ 座標は $$px^2-qx-1=0$$ の2根である。負の根を $\alpha$、正の根を $\beta$ とすると $$\displaystyle \alpha=\frac{q-\sqrt{q^2+4p}}{2p}<0,\qquad \beta=\frac{q+\sqrt{q^2+4p}}{2p}>0,$$ また $\alpha+\beta=q/p$、$\alpha\beta=-1/p$ である。

（問1）中点の $y$ 座標は $$\displaystyle \frac{p\alpha^2+p\beta^2}{2} =\frac p2\bigl((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\bigr) =1+\frac{q^2}{2p}.$$ これが2未満となる条件は $q^2<2p$。$q=1$ のときは $p=1,\ldots,6$ の6通り、$q=2$ のときは $p=3,\ldots,6$ の4通り、$q=3$ のときは $p=5,6$ の2通りで、$q\ge4$ では該当しない。よって $$\displaystyle \frac{6+4+2}{36}=\boxed{\frac13}.$$

（問2）解の公式より $\alpha$ が有理数であることと $\sqrt{q^2+4p}$ が有理数であることは同値である。整数の平方根が有理数ならそれは整数なので、これは $q^2+4p$ が平方数であることと同値。 $$\begin{array}{c|rrrrrr} p\backslash q&1&2&3&4&5&6\\ \hline 1&5&8&13&20&29&40\\ 2&9&12&17&24&33&44\\ 3&13&16&21&28&37&48\\ 4&17&20&25&32&41&52\\ 5&21&24&29&36&45&56\\ 6&25&28&33&40&49&60 \end{array}$$ この表で平方数となるのは $(p,q)=(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,1),(6,5)$ の6通り。したがって $$\displaystyle \frac6{36}=\boxed{\frac16}.$$

（問3）$\overrightarrow{AB}=(\beta-\alpha,\ p(\beta^2-\alpha^2))=(\beta-\alpha)(1,q)$ であり、$\overrightarrow{AO}=(-\alpha,-p\alpha^2)$ である。よって $$\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB} =(\beta-\alpha)(-\alpha)(1+pq\alpha).$$ ここで $\beta-\alpha>0$、$-\alpha>0$ なので、$\angle OAB>90^\circ$ となるのは $\alpha<-1/(pq)$ のとき。 $$\displaystyle \frac{q-\sqrt{q^2+4p}}{2p}< -\frac1{pq} \text{であるための必要十分条件は} \sqrt{q^2+4p}>q+\frac2q \text{、すなわち} (p-1)q^2>1.$$ 各 $q$ について数えると、$q=1$ では $p=3,4,5,6$ の4通り、$q=2,3,4,5,6$ ではそれぞれ $p=2,3,4,5,6$ の5通りずつ。よって $$\displaystyle \frac{4+5\cdot5}{36}=\boxed{\frac{29}{36}}.$$