4熊本大学 2009年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \text{(問1)}\quad \sqrt{3}\cos x-\sin x=2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\text{ とおく。}\ t=x+\frac{\pi}{6}\text{ とすると、} -\frac{5\pi}{6}\le t\le\frac{7\pi}{6}\text{ である。この範囲で }\cos t>0\text{ となるのは }-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}\text{ だから、} -\frac{2\pi}{3}<x<\frac{\pi}{3}\text{。}\quad \text{(問2)}\quad u=x+\frac{\pi}{6}\text{ とおくと、積分区間で }-\frac{\pi}{6}\le u\le\frac{\pi}{3}\text{ であり、}\cos u>0\text{ である。したがって分母 }\sqrt{3}\cos x-\sin x=2\cos u\text{ は正である。また、}\frac{4\sin x}{\sqrt{3}\cos x-\sin x}=\frac{2\sin(u-\frac{\pi}{6})}{\cos u}=\sqrt{3}\tan u-1\text{。}\sin x\text{ は }x=0\text{ で符号が変わるので、}\begin{aligned} I&=\int_{-\pi/6}^{0}-\left(\sqrt{3}\tan\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1\right)\,dx+\int_0^{\pi/6}\left(\sqrt{3}\tan\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-1\right)\,dx\\ &=\int_{-\pi/6}^{\pi/6}(1-\sqrt{3}\tan u)\,du+\int_{\pi/6}^{\pi/3}(\sqrt{3}\tan u-1)\,du.\end{aligned}\text{ ここで }\int\tan u\,du=-\log(\cos u)\text{（この区間では }\cos u>0\text{）より、}\begin{aligned}I&=\left[u+\sqrt{3}\log(\cos u)\right]_{-\pi/6}^{\pi/6}+\left[-\sqrt{3}\log(\cos u)-u\right]_{\pi/6}^{\pi/3}\\&=\frac{\pi}{3}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\log 3-\frac{\pi}{6}\right)\\&=\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}\log 3.\end{aligned}$$